Question

Ayuda a resolver, please:
(x^2-5x+6)/(x^2+x-42)>0

Answer 1

Explicación paso a paso:

$\frac{(x^2-5x+6)}{(x^2+x-42)} > 0$

Factorizamos:

$\frac{(x-2)(x-3)}{(x-6)(x+7)} > 0$

Ahora debemos identificar los signos de cada factor:

Para $(x-2)$:

$x-2=0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x=2\\x-2 < 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x < 2\\x-2 > 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x > 2$

Para $(x-3)$:

$x-3=0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x=3\\x-3 < 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x < 3\\x-3 > 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x > 3$

Para $(x-6)$:

$x-6=0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x=6\\x-6 < 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x < 6\\x-6 > 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x > 6$

Para $(x+7)$:

$x+7=0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x=-7\\x+7 < 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x < -7\\x+7 > 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x > -7$

Se determina los puntos de singularidad del denominador:

$(x-6)(x+7)=0$

$x-6=0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x=6\\x+7 = 0 \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: x = -7$

Ahora se debe generar una tabla de datos, donde se realiza el resumen y analiza para determinar intervalos (Anexo imagen generada en editor de texto)

En la imagen se puede observar que los intervalos donde se cumple la condición inicial es:

$x < -7 \: \: \: \: ; \: \: \: \: 2 < x < 3 \: \: \: \: ; \: \: \: \: x > 6$

otra forma de expresarlo sería como:

$(^{-}\infty,-7)\cup(2,3)\cup(6,\infty^{+})$