Question

avión vuela hacia el norte con una velocidad de 1200 km/h durante 2 horas. Otro avión comienza a volar al mismo tiempo desde la misma terminal en una dirección sudeste formando un ángulo de 100° medido desde el norte. El segundo avión vuela con una velocidad de 720 km/h durante 2 horas. Al término de las 2 horas, ¿cuál es la distancia entre los aviones?​

Answer 1

Al cabo de 2 horas de vuelo los dos aviones estarán separados por una distancia de aproximadamente 3005.64 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa la terminal desde donde salieron los dos aviones con rumbos distintos, donde el lado BC (a) representa la trayectoria del Avión A en dirección Norte y el lado CA (b) la trayectoria del Avión B en dirección Sudeste, donde ambos recorridos forman un ángulo de 100°.

Se pide hallar la distancia que separa a los dos aviones después de 2 horas de vuelo

Hallamos la distancia recorrida para cada uno de los aviones para un instante de tiempo de 2 horas

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ .\ Tiempo } }$

Para el Avión A

$\boxed {\bold { Distancia_{\ A} = 1200 \frac{km}{\not h} \ .\ 2\ \not h = 2400 \ km } }$

Para el Avión B

$\boxed {\bold { Distancia_{\ B} = 720 \frac{km}{\not h} \ .\ 2\ \not h = 1440 \ km } }$

Habiendo hallado la distancia recorrida por cada uno de los aviones en 2 horas, podemos hallar la distancia que los separará después de 2 horas de vuelo

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallando la distancia que separa a los dos aviones después de dos horas de vuelo (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = ( 2400 \ km )^{2} + (1440 \ km)^{2} - 2 \ . \ 2400 \ km \ . \ 1440 \ mi\ . \ cos(100)^o }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 5760000 \ km ^{2} + 2073600 \ km^{2} - 6912000 \ km^{2} \ . \ cos(100)^o }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 7833600 \ km^{2} - 6912000 \ km^{2} \ . \ -0.173648177666 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 7833600 \ km^{2} + 1200256.20 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 9033856.20 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 9033856.20 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 9033856.20 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 3005.637403\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 3005.64 \ km}}$

Al cabo de 2 horas de vuelo los dos aviones estarán separados por una distancia de aproximadamente 3005.64 kilómetros

Se adjunta gráfico