Question

Arturo lanza una flecha horizontalmente con una velocidad de 35m/s desde una altura de 12m. a) ¿Cuánto tiempo tardará en caer al suelo?, b)¿Qué distancia horizontal habrá recorrido?, c)si se pretende que dé en el blanco, ¿a qué distancia deberá colocarse éste?

Answer 1

El tiempo de vuelo de la flecha es de 1,565 segundos, por lo tanto caerá al suelo en ese instante de tiempo

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 54,77 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por el proyectil

Tomando como sistema de referencia el lugar donde se encuentra el arquero a 12 metros de altura, o en el plano cartesiano en el punto (0;12).  Para que la flecha dé en el blanco este debe colocarse sobre el eje x - eje horizontal- a 54,77 metros (Notar que coincide con el alcance máximo del proyectil), y sobre el eje y -eje vertical a 0 metros.  En el plano cartesiano en el punto (54,77;0)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $(\bold { V_{y} = 0 ) }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Las ecuaciones del tiro horizontal son

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}$

Dado que

$\boxed {\bold { y_{0}= H }}$

$\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a_{y}= g }}$

Podemos reescribir como:

Posición

Para el eje x

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V \ . \ t }}$

Para el eje y

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Velocidad

Para el eje x

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Para el eje y

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} =g$4

SOLUCIÓN

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g= 9,8 \ m/ s^{2} }$

a) Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la flecha

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzada

$\large\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Donde despejamos el tiempo

$\boxed {\bold { -12\ m =\left(\frac{-9,8 m/s^{2} }{2}\right) \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 2 \ . \ -12 \ m =-9,8 ' m /s^{2} \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { -24\ m =-9,8 \ m/s^{2} \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{-24 \ m}{-9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{-24 \ m }{-9,8 \ m/s^{2} } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{2,44897959183 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 1,565 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de la flecha es de 1,565 segundos, por lo tanto caerá al suelo en ese instante de tiempo

b) Hallamos el alcance horizontal

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d = 35 \ m/ s \ . \ 1,565 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 54,77 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 54,77 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por el proyectil

c) Como se pretende que la flecha dé en el blanco, determinamos a que distancia se debería colocar este

Establecemos ecuaciones de posición

Posición

Para el eje x - Eje horizontal

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x =0 +V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x = +\ V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x = 35 \ m/s \ . \ 1,565 \ s }}$

$\large\boxed {\bold { x = 54,77 \ metros}}$

Posición

Para el eje y - Eje vertical

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { y = 12 \ m + \frac{1}{2} \ . \ (-9,8 \ m/s^{2} ) \ . \ (1,565 \ s)^{2} }}$

$\boxed {\bold { y = 12 \ m -4,9 \ m/s^{2} \ . \ 2,449225 \ s^{2} }}$

$\boxed {\bold { y = 12 \ m - 12,001 \ m }}$

$\boxed {\bold { y = 12 \ m - 12\ m }}$

$\large\boxed {\bold { y = 0 \ metros }}$

Tomando como sistema de referencia el lugar donde se encuentra el arquero a 12 metros de altura, o en el plano cartesiano en el punto (0;12).  Para que la flecha dé en el blanco este debe colocarse sobre el eje x - eje horizontal- a 54,77 metros (Notar que coincide con el alcance máximo del proyectil), y sobre el eje y -eje vertical a 0 metros. En el plano cartesiano en el punto (54,77;0)

Se adjunta gráfico