Question

Arturo desea calcular la altura de dos pinos que están situados a 18 metros uno del otro. Él observa que desde la punta del pino más grande se avista la punta del pino más pequeño a un ángulo de 77°. Desde la base del mismo pino, se ve la punta del pino pequeño bajo un ángulo de 29°. Ayuda a Arturo para hallar las medidas de los dos pinos. Grafica​

Answer 1

Las alturas del pino pequeño y del pino grande son de aproximadamente 9.98 metros y 14.13 metros respectivamente

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a dos triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en dos triángulos: el ABC y el ABD en donde el primero es rectángulo y el segundo oblicuángulo

El triángulo rectángulo ABC está conformado por el lado AC que equivale a la distancia de separación entre los dos pinos, el lado BC que representa la altura del pino pequeño, y el lado AB que es la visual desde la base del pino mayor hasta la cima del pino pequeño con un ángulo de elevación de 29°

Y para el triángulo oblicuángulo ABD, el lado DB es la visual desde la cima del pino grande hasta la copa del pino menor con un ángulo de 77°, el lado AD representa la altura del pino grande, el lado AB es una distancia entre la base del pino grande hasta la copa del pino menor

Donde se pide hallar:

La altura de cada uno de los dos pinos

Trabajamos en ABC para hallar la altura del pino pequeño

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia entre los dos pinos - y conocemos un ángulo de elevación de 29° y debemos hallar la altura del pino pequeño, la cual es el cateto opuesto del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente

$\bold{\overline { BC} = h_{1} = Altura \ Pino\ Menor }$

$\boxed { \bold { tan(29^o ) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(29^o ) = \frac{\overline { BC} \ h_{1} }{ distancia \ pinos } }}$

$\boxed { \bold {\overline { BC} \ h_{1}= distancia \ pinos \ . \ tan(29^o) }}$

$\boxed { \bold { \overline { BC} \ h_{1}= 18 \ metros \ . \ 0.554309051453 }}$

$\boxed { \bold { \overline { BC} \ h_{1} \approx 9.97756 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { \overline { BC} \ h_{1} \approx 9.98 \ metros }}$

Trabajamos en el triángulo oblicuángulo ABD

Hallamos el lado AB

El cual coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia entre los dos pinos - y conocemos un ángulo de elevación de 29° y queremos hallar el lado AB, el cual es la hipotenusa del triángulo rectángulo empleamos la razón trigonométrica coseno

$\boxed { \bold { cos(29^o ) = \frac{cateto \ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { cos(29^o ) = \frac{distancia \ pinos }{ \overline { AB} } }}$

$\boxed { \bold { \overline { AB} = \frac{distancia \ pinos }{ cos(29^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline { AB} = \frac{18 \ metros }{ 0.874619707139 } }}$

$\boxed { \bold { \overline { AB} = 20.5803 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { \overline { AB} = 20.58 \ metros }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo oblicuángulo ABD

Denotamos al ángulo dado por enunciado de 77° como γ

$\large\boxed {\bold { \gamma = 77^o}}$

Hallamos el ángulo en A al cual denotamos como α

Donde dado que conocemos un ángulo de elevación de 29° desde A hasta B, el cual conforma con el ángulo buscado un ángulo recto de 90° dado que son complementarios

$\boxed {\bold { \alpha =90^o -29^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 61^o}}$

Hallamos el tercer ángulo B del triángulo oblicuángulo al cual denotamos como β

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

$\boxed {\bold { 180^o = 77^o+ 61^o+\beta }}$

$\boxed {\bold {\beta = 180^o -77^o- 61^o }}$

$\large\boxed {\bold {\beta = 42^o }}$

Hallamos la altura del pino grande empleando el teorema del seno

$\bold{\overline { AD} = h_{2} = Altura \ Pino\ Mayor }$

$\bold{\overline {AB} = 20.58 \ m }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{AD} \ h_{2} }{ sen( \beta ) }= \frac{\overline{AB} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{AD}\ h_{2} }{ sen(42 ^o ) } = \frac{ \overline{AB} }{sen(77^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{AD}\ h_{2} }{ sen(42 ^o ) } = \frac{ 20.58 \ m }{sen(77^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{AD}\ h_{2} = \frac{ 20.58 \ m \ . \ sen(42^o ) }{sen(77^o) } }}$

$\boxed { \bold {\overline{AD}\ h_{2} = \frac{ 20.58 \ m \ . \ 0.669130606359 }{ 0.974370064785 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{AD}\ h_{2} = \frac{ 13.77070787886822 }{ 0.974370064785}\ m }}$

$\boxed { \bold { \overline{AD}\ h_{2} \approx 14.13293 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { \overline{AD}\ h_{2} \approx 14.13\ metros }}$

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas