Area Bajo La Curva Para El Método De Trapecio
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Matemáticas
Explicación paso a paso:
Descripción del método
En los cursos de Cálculo Integral aprendemos a calcular una integral definida de una función continua haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que dice que si f(x) es una función continua en un intervalo [a, b] y F(x) es una antiderivada de f(x) entonces:
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
El problema en la práctica se presenta, cuando se nos hace imposible mediante métodos analíticos determinar la antiderivada requerida, aun cuando se trate de integrales aparentemente sencillas como ∫21x31+x√dx, que son imposibles de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
En estos casos, debemos de recurrir a la integración numérica que permite obtener aproximaciones bastantes exactas y que se pueden resolver con el uso de asistentes matemáticos como Maxima, Derive, Mathematica, entre otros.
En este módulo nos referiremos a la regla del trapecio y a la regla de Simpson.
Regla del trapecio
La regla del trapecio es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton – Cotes, para el caso cuando el polinomio interpolante es de grado uno.
Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene:
A=∫baf(x)dx≅∫baf1(x)dx, donde
f1(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)
Precisamente el área bajo la recta es una aproximación de la integral ∫baf(x)dx, es decir que A=∫ba[f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)]dx. Luego se tiene que la regla del trapecio viene dada por la fórmula:
A=∫baf(x)dx≈(b−a)[f(a)+f(b)2]
El nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una línea recta en el intervalo [a, b] que es el área del trapecio que se forma, como se muestra en la figura.
Espero te ayude
