Question

ara determina la distancia entre dos puntos, A y B, en orillas opuestas de un lago, un topógrafo se sitúa en un punto C a 869 pies de A y 175 pies de B. Si el ángulo formado por las líneas de observación desde C-A y desde C-B es de 78°, encuentre la distancia del punto A al punto B.

Answer 1

La distancia aproximada entre el punto A y el punto B es de 850.03 pies

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto donde se sitúa el topógrafo donde el lado AC (b) representa una línea de observación y la distancia del topógrafo de C a A y el lado BC (a)  equivale a la línea de observación y la distancia del topógrafo de C a B. Donde ambas líneas de observación forman un ángulo de 78°.

Donde se pide hallar la distancia que hay entre el punto A y el punto B

Hallando la distancia entre el punto A y el punto B

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 175 \ ft)^{2} + (869 \ ft)^{2} - 2 \ . \ 175 \ ft \ . \ 869 \ ft \ . \ cos(78)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 30625 \ ft^{2} + 755161 \ ft^{2} - 304150 \ ft^{2} \ . \ cos(78)^o }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 785786\ ft^{2} - 304150 \ ft^{2} \ . \ 0.2079116908177 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 785786\ ft^{2} - 63236.34076 \ ft^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =722549.65924 \ ft^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{722549.65924 \ ft^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 722549.65924 \ ft^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 850.02921\ ft}}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 850.03\ ft}}$

La distancia aproximada entre el punto A y el punto B es de 850.03 pies

Se adjunta gráfico