Question

Aproxime con de 〖10〗^(-4) precisión la raíz de la ecuación x-0,8-0,2 sen(x)=0 en el intervalo [0,1/2π] utilizando el método de la secante.

Answer 1

El teorema de la secante nos dice que: 

$X(n+1) = x(n)-\frac{ Xn-X(n-1)} {fx(n) -fx(n-1)} *fx(n)$

Para tomar como referencia dos puntos X0 y X1. 

Pero en este caso nos piden aproximar con una precisión de 10⁻⁴, para el intervalo $[0, \frac{\pi} {2} ]$. 

1.-El primer paso será graficar la función (Adjunto la grafica). Y al graficar nos damos cuenta que existe una raiz  que es bastante proxima a 1. 

2.- Vamos ahora a establecer el primer rango de iteración: donde: 

Xi= 0 
Xd= $\frac{\pi} {2}$

Xm1= $= \frac {Xi + Xd} {2}$ = $\frac{\pi} {4}$

Evaluando la función en Xm1=  $\frac{\pi} {4}$ 

$f(Xm1) = \frac{\pi}{4} - 0.8 -0.2Sen(\frac{\pi}{4})$
f(Xm1)=-0.15 

Como f(Xm1)<0, vamos a realizar la siguiente iteración hacia la derecha. 

3.- Segunda iteración. 

Xm2= $= \frac {Xm1 + Xd} {2}$ = $\frac{3 \pi} {8}$

Evaluando la función en Xm2 me queda: 

F(Xm2) = 0.193321 >0 por lo que itero hacia la izquierda. 

4.- Tercera iteración. 

Xm3= $= \frac {Xm2 + Xm1} {2}$ = $\frac{5 \pi} {16}$

F(Xm3) = 0.015 >0 por lo que itero hacia la izquierda. 

5.- Cuarta iteración: 

Xm4= $= \frac {Xm3 + Xm2} {2}$ = 0.8835729338

F(Xm4) = -0.07 < 0 por lo que ahora itero hacia la derecha. 

6.- Quinta Iteración: 

Xm5= $= \frac {Xm4 + Xm3} {2}$ = 0.932660319

F(Xm5) = -0.027 <0 

7.- Sexta Iteración: 

Xm6 $= \frac {Xm5 + Xm3} {2}$ =09572040116

F(Xm6) = -6.31*10⁻³ <0 Nos estamos acercando al valor de aproximación requerido, iteramos a la derecha. 

8.- Septima Iteración:  

Xm7$= \frac {Xm6 + Xm3} {2}$ = 0.9694758579 

F(Xm7) = 4.55*10⁻³ >0 Itero hacia la izquierda. 

9.- Octava Iteración. 

Xm8$= \frac {Xm7 + Xm6} {2}$= 0.9633399318
F(Xm8) =-8.80*10⁻⁴

Raiz= 0.9633399318
Error= |F(Xm8)| = 8.8*10⁻⁴