Question

APROXIMACIÓN POLINÓMICA

Answer 1

Bueno en esencia esta es la fórmula

          $\displaystyle f(x)\sim \sum_{n=0}^{p}\dfrac{f^{\{n\}}(a)}{n!}(x-a)^n+o((x-a)^p)$

Donde f es una función al menos p-veces diferenciable en el entorno $U(a)$.

En este caso $f(x)=(1+x)^5$ es infinitas veces diferenciable en cualquier punto. Aproximémoslo a una cuadrática en el entorno de x = 0

Hallemos las derivadas y evaluémosla en x = 0
  
    $f(0)=1\\ f'(x)=5(1+x)^4\to f'(0)=5\\ f''(x)=20(1+x)^3\to f''(0)=20\\ \\ \\ \displaystyle (1+x)^5\sim\sum_{n=0}^{2}\dfrac{f^{\{n\}}(0)}{n!}x^n+o(x^2)\\ \\ \\ (1+x)^5\sim \dfrac{f(0)}{0!}x^0+\dfrac{f'(0)}{1!}x^1+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+o(x^2)\\ \\ \\ \boxed{(1+x)^5\sim 1+5x+10x^2+o(x^2)}$