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Respuestas a la pregunta
Respuesta:
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azul)
β > α : Elipse (verde)
β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
β = 180° : Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
Ecuación general de segundo grado
Definición
Se denomina ecuación general de segundo grado o ecuación cuadrática general en dos variables {\displaystyle x}x e {\displaystyle y}y a una ecuación como
Partiendo de una circunferencia (e = 0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
{\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,(1)}{\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,(1)}
donde a, h, b, g, f, c son constantes reales, y al menos uno de los valores a, b, h es no nulo.
La elipse, parábola, hipérbola son curvas de segundo grado por satisfacer ecuaciones de la forma (1), pero hay curvas de segundo grado que no son secciones cónicas, para el caso: dan un punto, una recta, dos rectas, ningún punto.
Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.
Características
Secciones cónicas
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
La elipse posee la ecuación ordinaria (con centro en el origen de coordenadas): {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}, si por otra parte el centro de la elipse tiene coordenadas {\displaystyle (h,k)}{\displaystyle (h,k)} tiene la siguiente expresión algebraica: {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro {\displaystyle (h,k)}{\displaystyle (h,k)}, es: {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1\,}{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1\,}.
A su vez, la de una hipérbola vertical es: {\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1\,}{\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1\,}.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco (F) y de la directriz de una parábola, se destacan los siguientes elementos:
Eje, e
Vértice, V
Distancia de F a d = p
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación: {\displaystyle \ y=a{x^{2}}\,}{\displaystyle \ y=a{x^{2}}\,}, mientras que la ecuación general de una parábola centrada en {\displaystyle (h,k)}{\displaystyle (h,k)} sobre el eje de ordenadas es {\displaystyle (y-k)^{2}=2p(x-h)^{2}\,}{\displaystyle (y-k)^{2}=2p(x-h)^{2}\,}.
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
Véase también
Sección cónica degenerada
Curvas cónicas
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Cuádrica
Esferas de Dandelin
Aplicaciones
Aerodinámica
Astronomía
Morfología (diseño)
Gravitación
Geometría proyectiva