Question

Apliquen el método de sustitución para hallar la solución de los sistemas de ecuaciones lineales que se proponen en cada item donde x, y, z E R designan las incógnitas. Comprueben la solución.​

Answer 1

Los sistemas de ecuaciones son un conjunto de ecuaciones con varias variables, comunes entre las ecuaciones.

La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores, que asumidos por estas variables, satisfacen de manera simultánea todas las ecuaciones del mismo.

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones, entre ellos se encuentra el método de sustitución, que consiste en despegar una variable en una de las ecuaciones, y tomar la expresión resultante para sustituirla dentro de las otras ecuaciones, donde se encuentre esta variable, de forma que se tenga al final una expresión con variable única, que pueda resolverse y luego tomar esta solución parcial para ir resolviendo las demás.

Veamos el ejemplo.

$0,2X+0,3Y+0,4Z=-10\\-0,1X+0,2Y-0,2Z=2,5\\0,4X-0,4Y=-14$

De la tercera ecuación despejamos la X,

$X=(-14+0,4Y)/0,4\\X=-35+Y$

Sustituimos esta expresión de X en las otras ecuaciones

$0,2(Y-35)+0,3Y+0,4Z=-10\\-0,1(Y-35)+0,2Y-0,2Z=2,5$

Resolvemos y reordenamos y tendremos un sistema de sólo 2 variables y 2 ecuaciones,

$0,2Y-7+0,3Y+0,4Z=-10\\-0,1Y+3,5+0,2Y-0,2Z=2,5$

$0,5Y+0,4Z=-3\\0,1Y-0,2Z=-1$

De la misma forma que hicimos con X, despejamos Y de ls segunda ecuación,

$Y=(-1+0,2Z)/0,1\\Y=-10+2Z$

y sustituimos esta expresión de Y en la primera ecuación,

$0,5(2Z-10)+0,4Z=-3\\Z-5+0,4Z=-3\\1,4Z=2\\Z=2/1,4=1/0,7$

Con este valor de Z, hallamos el valor de Y

$Y=2Z-10\\Y=2*1/0,7-10=2/0,7-10\\Y=-5/0,7$

y con este valor de Y calculamos X

$X=Y-35\\X=-5/0,7-35\\X=-29,5/0,7$

Comprobamos sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales,

De la primera:

0,2(-29,5/0,7)+0,3(-5/0,7)+0,4(1/0,7)=-10

-0,2*29,5-0,3*5+0,4=-10*0,7

-5,9-1,5+0,4=-7

-7=-7

De la segunda,

-0,1(-29,5/0,7)+0,2(-5/0,7)-0,2(1/0,7)=2,5

-0,1(-29,5)+0,2(-5)-0,2(1)=2,5*0,7

2,95-1-0,2=1,75

1,75=1,75

De la tercera,

0,4(-29,5/0,7)-0,4(-5/0,7)=-14

0,4(-29,5)-0,4(-5)=-14*0,7

-0,4(29,5-5)=-9,8

29,5-5=-9,8/-0,4

24,5=24,5

Con lo cual comprobamos la solución simultánea de todas las ecuaciones.

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