Question

Aplique las siguientes identidades trigonométricas a los ángulos 50°, 75°, 85° ,120°,45°: • Identidades reciprocas (csc, sec y cot) • Identidades cociente (tan y cot) • Identidades de angulo doble (sen, cos, tan) • Identidades pitagóricas (las tres)

Answer 1

Respuesta: Aqui esta

Explicación paso a paso:

\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \sec\alpha\cdot \csc\alpha

 

Usamos la definición de tangente y cotangente para desarrollar la parte izquierda de la ecuación

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}  

 

Usamos que \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y las definiciones de secante y cosecante para obtener que

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{1}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}= \sec\alpha\cdot\csc\alpha

 

que es a lo que queríamos llegar.

 

 

2 \displaystyle \cot^2\alpha = \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2

 

Primero desarrollamos el cuadrado

 

\displaystyle \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2=\cos^2\alpha+\cot^2\alpha\cdot\cos^2\alpha

 

Factorizamos \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos,  usamos la identidad \displaystyle 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha y la definición de cosecante y cotangente

 

\displaystyle \cos^2\alpha(1+\cot^2\alpha)=\cos^2\alpha \cdot\csc^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cot^2\alpha

 

 

3 \displaystyle \frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha

 

Desarrollamos el lado derecho, iniciando por factorizar \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos

 

\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha= \cos^2\alpha(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha)

 

Usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 y la definición de secante

 

\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha=\cos^2\alpha=\frac{1}{\sec^2\alpha}

 

 

4 \displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\csc\alpha

 

Usamos la definición de cotangente y secante

 

\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}

 

Cancelamos el factor \displaystyle \cos\alpha y usamos la definición de cosecante

 

\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\csc\alpha

 

 

5 \displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha =\frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}

 

Desarrollamos con las definiciones de secante y cosecante y operamos la suma de fracciones

 

\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }

 

Finalmente usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y obtenemos el resultado deseado

 

\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }

 Att: Geral Alzate