Matemáticas, pregunta formulada por yeka826, hace 1 año

Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:

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Contestado por gianluigi081
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Hola.

\int _0^1\frac{3}{4+\sqrt{x}}dx

Sacar \ constante: \\  \\ \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx \\  \\ 3\cdot \int \:\frac{1}{4+\sqrt{x}}dx

Aplicamos \ regla \ de \ sustitucion:  \\  \\ u=  \sqrt{x}  \\  \\ 3\cdot \int \:\frac{2u}{4+u}du \\  \\ Sacar \ constante:  \\  \\ \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx  \\  \\ 3\cdot \:2\cdot \int \:\frac{u}{4+u}du

Calculamos: \frac{v-4}{v} \\  \\ Propiedad \ de \ fracciones: \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \\  \\ \frac{v-4}{v}=\frac{v}{v}-\frac{4}{v}  \\  \\ 1-\frac{4}{v}  \\  \\ Reescribimos:  \\  \\  3\cdot \:2\cdot \int \:1-\frac{4}{v}dv

Regla \ de \ la \ suma:  \\  \\ \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx \\  \\ \int \:1dv = v \\  \\ \int \frac{4}{v}dv \\  \\ Sacar \ constante:  \\  \\ \int a\cdot f\left(x\right)dx=a\cdot \int f\left(x\right)dx \\  \\ 4\cdot \int \:\frac{1}{v}dv  \\  \\ Aplicamos:  \\  \\ \int \:\frac{1}{v}dv=\ln \left(\left|v\right|\right)  \\  \\ 4\ln \left|v\right|

3\cdot \:2\left(v-4\ln \left|v\right|\right)  \\  \\ Sustituimos: \:v=4+u,\:u=\sqrt{x} \\  \\ 6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right) \\  \\ 6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right)+C

 Aplicamos: \int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)  \\  \\ =\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)

\lim _{x\to \:0+}\left(6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right)\right)  \\  \\ 6\left(4+\sqrt{0}-4\ln \left|4+\sqrt{0}\right|\right)  \\  \\ 6\left(4-8\ln \left(2\right)\right)

\lim _{x\to \:1-}\left(6\left(4+\sqrt{x}-4\ln \left|4+\sqrt{x}\right|\right)\right)  \\  \\ 6\left(4+\sqrt{1}-4\ln \left|4+\sqrt{1}\right|\right)  \\  \\ 6\left(5-4\ln \left(5\right)\right)  \\  \\ 6\left(5-4\ln \left(5\right)\right)-6\left(4-8\ln \left(2\right)\right)

\boxed{Respuesta: \boxed{6\left(1-4\ln \left(5\right)+\ln \left(256\right)\right)}}

¡Espero haberte ayudado, saludos...!

yeka826: Muchas gracias
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