Question

Aplicando la ley de gauss, demuestra que un campo fuera de una esfera sólida cargada (q=carga total sobre la esfera) a una distancia r de su centro, tiene la siguiente fórmula E=K q/r^2

Answer 1

Mediante la ley de Gauss se puede demostrar que el campo eléctrico producido por una esfera con carga Q a una distancia R es igual al campo producido por una carga puntual:

$E=k\frac{Q}{R^2}$

Donde k es la constante de Coulomb.

Explicación:

Según la ley de Gauss, la integral de superficie del desplazamiento eléctrico a lo largo de una superficie gaussiana es igual a la carga encerrada por esa superficie gaussiana.

$\int\limits^{}_{S} {\epsilon.E} \, dS=Q \\\\\int\limits^{}_{S} {E} \, dS=\frac{Q}{\epsilon}$

Se puede adoptar como superficie gaussiana una esfera concéntrica con la esfera cargada, mayor que este último cuerpo. Entonces se puede asumir que el campo eléctrico es uniforme a lo largo de esta superficie (porque cualquier punto de la esfera está a la misma distancia del centro, donde se considera, a los efectos de este cálculo, que toda la carga está concentrada), entonces la ecuación se simplifica:

$E.S=\frac{Q}{\epsilon}\\\\E.4\pi.R^2=\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0.R^2}$

A su vez es:

$k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9\times 10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}$

Lo que se conoce como la constante de Coulomb, por lo que la expresión anterior queda:

$E=k\frac{Q}{R^2}$