Question

Aplicando la definición o regla general, hallar la derivada de las siguientes funciones, dónde a,b,c y m son contantes.


a) y= 2x²
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Answer 1

La definición de derivada es.

$\frac{dy}{dx} = Lim_{h→0} \frac{f( x+ h) - f(x)}{h}$

Se llama regla de los cuatro pasos.

1) Vamos a encontrar la composición de tu función

$"f(x+h)"$

$f(x)=2 {x}^{2}$

$f(x+h)=2(x+h {)}^{2}$

2) Vamos a restar la función original de la función composición

$f(x+h)-f(x)=2(x+h {)}^{2} -2 {x}^{2}$

3) Vamos a dividir toda esa expresión entre "h"

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2(x+h {)}^{2} -2 {x}^{2} }{h}$

4) Vamos a simplificar todo lo que podamos

4.1) Por ejemplo podemos factorizar ese "2" que se encuentra en toda la ecuación

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2((x+h {)}^{2} - {x}^{2}) }{h}$

4.2) Vamos a desarrollar el binomio al cuadrado

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2( {x}^{2} + 2xh + {h}^{2} - {x}^{2}) }{h}$

4.3) Vamos a sumar términos semejantes

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2( 2xh + {h}^{2} ) }{h}$

4.4) Vamos a factorizar una "h" del numerador

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2h( 2x + {h} ) }{h}$

4.5) Vamos a simplificar la "h" que está en el numerador multiplicando con la "h" que está en el denominador dividiendo.

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = {2( 2x + {h} ) }$

5) Vamos a calcular el límite cuando "h" tiende a cero.

$Lim_{h→0} \frac{f( x+ h) - f(x)}{h} = Lim_{h→0} \: 2(2x + h)$

5.1) Lo único que debemos hacer es sustituír en donde esté "h" el cero

Nota: Inmediatamente después de que se sustituya "h" por el cero se debe quitar el símbolo de límite.

$Lim_{h→0} \frac{f( x+ h) - f(x)}{h} = \: 2(2x + 0)$

$Lim_{h→0} \frac{f( x+ h) - f(x)}{h} = \: 2(2x )$

Ahora cambiamos la expresión de la izquierda por el símbolo de derivada y simplificamos el miembro derecho

$\frac{dy}{dx} = \: 4x$

Esa sería la derivada por definición, espero haberte ayudado.