Question

aplicando la definicion de epsilon- delta demostrar el siguiente limite: lim_x -4 (2x+7)=-1

Answer 1

Para realizar esta demostración es de vital importancia conocer y entender la definición de límite de una función. Diremos que $\lim_{x \to \ x_{0}} f(x) = l$ si:

∀ ε>0 ∈δ>0 / [0<|$x-x_{0}$|<δ] ⇒ |$f(x)-l$| < ε

Si lo que queremos demostrar es que $\lim_{x \to \ -4} (2x+7) = -1$, entonces tenemos que ver que:

∀ ε>0 ∈δ>0 / [0<|x-(-4)|<δ] ⇒ |(2x+7)-(-1)| < ε

Esto mismo lo podemos escribir de la siguiente manera:

∀ ε>0 ∈δ>0 / [0<|x+4|<δ] ⇒ |2x+8| < ε

Lo que debemos probar entonces es que para cualquier ε positivo podremos encontrar un δ igualmente positivo de tal forma que si 0 < |x+4| < δ entonces |2x+8| <ε

Para ello vamos a intentar acotar |2x+8| en términos de |x+4| para obtener así una cota de |2x+8| expresada en términos de δ. Veamos:

Vamos a intentar que aparezca en 2x+8 la expresión x+4. Es obvio que si dividimos entre 2, obtendremos el resultado que buscábamos. Entonces, 2x+8=2(x+4).

Una vez conseguido esto, es fácil terminar con la demostración. Dado que tenemos que 0<|x+4|<δ, podemos escribir:
                                                 2x+8 = 2(x+4) < 2δ

Por lo tanto, para conseguir que |2x-4| < ε bastará con conseguir que 2δ < ε debido a la desigualdad obtenida antes.

Por último, para que 2δ < ε bastará con tomar δ < ε/2 (tan sólo he despejado δ)

Por lo tanto, hemos llegado a la conclusión de que para cualquiera que sea el ε > 0 fijado podremos encontrar un δ que veridique [0 < |x+4| < δ] ⇒ |2x+8| < ε.

Por lo tanto, $\lim_{x \to \ -4} (2x+7) = -1$

Espero haberte ayudado, no dudes en preguntar si te pierdes en algún paso de la demostración, A.