Question

aplicando el método ruffini,determinar cuantos factores primos tiene el siguiente monimio P(x)=x⁴-3x³+8x-24​

Answer 1

Respuesta:

tiene 3 factores primos : (x+2)(x-3)(x´2-2x+4)

la ecuación cuadráticas no es factorizable en los reales porque su discriminante es menor a 0. Suerte!

Explicación paso a paso:

Answer 2

Respuesta:

P(x)=x⁴-3x³+8x-24 = (x - 3) (x³ + 8) = (x - 3) (x + 2) (x² - 2x + 4)

Explicación paso a paso:

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini.

P(x)=x⁴-3x³+8x-24

Tomamos los divisores del termo idependiente:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Aplicando el teorema del resto calculamos con cual es exacta:

P(1)=1⁴-3*1³+8*1-24 = 1 - 3 + 8 - 24 = 9 - 27 ✖

P(-1)=(-1)⁴-3*(-1)³+8*(-1)-24 = 1 + 3 - 8 - 24 = 4 - 32 ✖

P(2)=2⁴-3*2³+8*2-24 = 16 - 24 + 16 - 24 = 32 - 48 ✖

P(-2)=(-2)⁴-3*(-2)³+8*(-2)-24 = 16 + 24 - 16 - 24 = 0 ✔

P(3)=3⁴-3*3³+8*3-24 = 81 - 81 + 24 - 24 = 0 ✔

Como resultó 0 cuando (x + 2) pues Ruffini:

   |   1    -3     0     8     -24

-2 |       -2     10  -20    32

       1    -5     10   -16     8

No salió división exacta, pues seguimos con el (x - 3):

   |   1    -3     0      8     -24

3 |         3      0     0      24  

       1     0     0      8      0

Ahora sí, entonces:

P(x)=x⁴-3x³+8x-24 = (x - 3) (x³ + 8)

Volvemos a comprobar con cuales se puede:

P(1)=1³ + 8 = 1 + 8 ✖

P(-1)=(-1)³ + 8 = - 1 - 8 ✖

P(2)=2³ + 8 = 8 + 8 ✖

P(-2) = (-2)³ + 8 = - 8 + 8 = 0 ✔

Puede resolver con (x + 2), pues:

   |   1    0     0      8

-2 |       -2     4    -8

       1    -2     4     0

Pues sí, se puede:

P(x)=x⁴-3x³+8x-24 = (x - 3) (x³ + 8) = (x - 3) (x + 2) (x² - 2x + 4)

Volvemos a comprobar si se puede:

P(1)=1² - 2*1 + 4 = 1 - 2 + 4 ✖

P(-1)=(-1)² - 2*(-1) + 4 = 1 + 2 + 4 ✖

P(2)=2² - 2*2 + 4 = 4 - 4 + 4 ✖

P(-2)=(-2)² - 2*(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 ✖

P(3)=3² - 2*3 + 4 = 9 - 6 + 4 ✖

P(-3)=(-3)² - 2*(-3) + 4 = 9 + 6 + 4 ✖

P(4)=4² -2*4 + 4 = 16 - 8 + 4 ✖

P(-4)=(-4)² - 2*(-4) + 4 = 16 + 8 + 4 ✖

Por lo que vemos no da resultado como cero, entonces quiere decir que las raíces ya no son enteros, sinó racionales.

Como es una raíz cuadrática pues usamos la fórmula general:

x = [-b ± √(b² -4 *a*c)]/(2*a)

a = 1; b = -2; c = 4

x = [-(-2) ± √((-2)² -4 *1*4)]/(2*1)

x = [2 ± √(4 -16)]/2

x = [2 ± √-12]/2

x = No existe :( (raíces negativos entonces no)