Question

Aplicación de modelo de enfriamiento de Newton:
Una
lechuga que ha estado en el refrigerador conserva una
temperatura de 50°F, se coloca al aire libre donde la temperatura
es de 100°F. Si después de 4 minutos la temperatura del cuerpo
es de 60°F ¿Cuál será su temperatura después de 20 minutos?

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

Con:

t como el tiempo en minutos.

T la temperatura en el tiempo t

K la contante de proporcionalidad

dT/dt la razón de cambio de la temperatura

Tm la temperatura del medio

La ecuación que representa la situación es:

dT/dt=K(T-Tm)

La ecuación diferencial anterior es una ecuación diferencial de variables separables por lo que se procede a separar las variables a cada lado de la igualdad:

dT/dt=K(T-Tm)

dT/((T-Tm) )=Kdt

Se integra a ambos lados de la igualdad:

∫▒dT/((T-Tm) )=∫▒〖K dt〗

ln⁡(T-Tm)+C_1=Kt+C_2

Las constantes son producto del desarrollo de integrales indefinidas, es posible juntarlas en una sola constante:

ln⁡(T-Tm)=Kt+C

Y se utilizan propiedades matemáticas para despejar y:

e^ln⁡(T-Tm) =e^(Kt+C)

T-Tm=e^Kt*e^C

Podemos reescribir la ecuación anterior utilizando e^C=c

T=ce^Kt+Tm

Para hallar la solución general de la ecuación, necesitamos hallar el valor de las constantes c y K; se utiliza la información dada en el enunciado:

T(0)=50

T(4)=60

Se sabe por el enunciado también que Tm=100 y aplicamos las ecuaciones anteriores a la ecuacion general hallada:

T(0)=ce^K(0) +100=50;c=50-100=-50

T(4)=-50e^K(4) +100=60;e^4k=(60-100)/(-50)=4/5;k=1/4 ln⁡(4/5)

Por lo que la ecuación de la solución general es:

T=-50e^(1/4 ln⁡(4/5) )t+100

Con T como la temperatura de la lechuga y t el tiempo que pasa desde que se saca del refrigerador.

Para hallar la temperatura pasados 20 minutos es necesario evaluar t = 20 en la solución general hallada en el paso anterior:

T(20)=-50e^(1/4 ln⁡(4/5) )(20) +100=83.616°F

20 minutos después de sacar la lechuga su temperatura será de aproximadamente 83.6 °F.