Question

Aplicación de la Derivada:

Un Terreno rectangular se quiere cercar y dividir en 3 porciones iguales. Determinar:

a) Si el área que debe cercarse es de 4000 m^2 Cuales deben ser las dimensiones del terreno para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima.

b) Sí se dispone 4000 m lineal mente de cerca cuales deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima.

Answer 1

a) Cortamos en 3 la base, cada parte mide x; la altura es y

La superficie del rectángulo es 3 x y = 4000

El perímetro es P = 4 y + 6 x; función a minimizar

Despejamos y = 4000 / (6 x)

Luego P(x) = 4 . 4000 / (6 x) + 6 x

Derivamos respecto de x: P' = 6 - 8000 / (6 x²)

Igualamos a cero y resulta x = 21,08 m

Por lo tanto y = 4000 / (6 . 21,08) = 31,6 m

El rectángulo medirá entonces: 

base = 3 . 21,08 m = 63,24 m

altura = 31,16

La cantidad de cerca es P = 4 . 31,6 + 6 . 63,24 = 506,84 m

b)

El perímetro es ahora P = 4000 = 4 y + 6 x

De modo que y = 1000 - 3 x/2

La superficie es S = 3 x y = 3 x (1000 - 3 x/2)

S = 3000 x - 9/2 x²

Derivamos: S' = 3000 - 9 x = 0; luego x = 333,3 m

y = 1000 - 3 . 333,33 / 2 = 500 m

Verificamos el perímetro: P = 4 . 500 + 6 . 333,33 = 4000 m

El área es S = 3 x y = 3 . 333,33 . 500 = 500000 m²

Saludos Herminio