Aplicación de la Derivada:
Un Terreno rectangular se quiere cercar y dividir en 3 porciones iguales. Determinar:
a) Si el área que debe cercarse es de 4000 m^2 Cuales deben ser las dimensiones del terreno para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima.
b) Sí se dispone 4000 m lineal mente de cerca cuales deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima.
Respuestas a la pregunta
Contestado por
6
a) Cortamos en 3 la base, cada parte mide x; la altura es y
La superficie del rectángulo es 3 x y = 4000
El perímetro es P = 4 y + 6 x; función a minimizar
Despejamos y = 4000 / (6 x)
Luego P(x) = 4 . 4000 / (6 x) + 6 x
Derivamos respecto de x: P' = 6 - 8000 / (6 x²)
Igualamos a cero y resulta x = 21,08 m
Por lo tanto y = 4000 / (6 . 21,08) = 31,6 m
El rectángulo medirá entonces:
base = 3 . 21,08 m = 63,24 m
altura = 31,16
La cantidad de cerca es P = 4 . 31,6 + 6 . 63,24 = 506,84 m
b)
El perímetro es ahora P = 4000 = 4 y + 6 x
De modo que y = 1000 - 3 x/2
La superficie es S = 3 x y = 3 x (1000 - 3 x/2)
S = 3000 x - 9/2 x²
Derivamos: S' = 3000 - 9 x = 0; luego x = 333,3 m
y = 1000 - 3 . 333,33 / 2 = 500 m
Verificamos el perímetro: P = 4 . 500 + 6 . 333,33 = 4000 m
El área es S = 3 x y = 3 . 333,33 . 500 = 500000 m²
Saludos Herminio
La superficie del rectángulo es 3 x y = 4000
El perímetro es P = 4 y + 6 x; función a minimizar
Despejamos y = 4000 / (6 x)
Luego P(x) = 4 . 4000 / (6 x) + 6 x
Derivamos respecto de x: P' = 6 - 8000 / (6 x²)
Igualamos a cero y resulta x = 21,08 m
Por lo tanto y = 4000 / (6 . 21,08) = 31,6 m
El rectángulo medirá entonces:
base = 3 . 21,08 m = 63,24 m
altura = 31,16
La cantidad de cerca es P = 4 . 31,6 + 6 . 63,24 = 506,84 m
b)
El perímetro es ahora P = 4000 = 4 y + 6 x
De modo que y = 1000 - 3 x/2
La superficie es S = 3 x y = 3 x (1000 - 3 x/2)
S = 3000 x - 9/2 x²
Derivamos: S' = 3000 - 9 x = 0; luego x = 333,3 m
y = 1000 - 3 . 333,33 / 2 = 500 m
Verificamos el perímetro: P = 4 . 500 + 6 . 333,33 = 4000 m
El área es S = 3 x y = 3 . 333,33 . 500 = 500000 m²
Saludos Herminio
RickyConde:
Gracias Excelente Explicación :)
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