Question

antideriven :c, solo sé que queda 8x^2/2 pero el (4x-7)^5 lo paso arriba con exponente negativo? osea (4x-7)^-5? y luego?

Answer 1

Tienes: 
$\int { \frac{8x}{9*(4x-7)}} \, dx$

reescribes la integral para que quede más fácil de resolver usando cambio de variable dónde 
$u=4x-7$
derivas "u" porque también tienes que cambiar el "dx" de la ecuación
$du=4dx$

por ende 
$x=(u-7)/4 \\ dx=du/4$

entonces reescribes la integral como sigue:
$\int { \frac{8( \frac{u+7}{4})* \frac{du}{4}}{9*(u^{5})} } \,$

los números que van multiplicando la integral, lo puedes sacar de ella
$\frac{8}{4*4*9} \int { \frac{u+7}{u^{5}} } \, du$

En este caso la suma la puedes separar en la suma 2 integrales:
$=\frac{1}{18} (\int { \frac{u}{u^{5}}du }+ \int { \frac{7}{u^{5}} }du ) \,$
$=\frac{1}{18} (\int { \frac{1}{u^{4}}du }+ \int { \frac{7}{u^{5}} }du ) \,$

como:
$\frac{1}{u^{4}} =u^{-4}\\ \\\frac{1}{u^{5}}=u^{-5}$

te queda
$\=\frac{1}{18}(\int { u^{-4}du }+7*\int { \frac{1}{u^{5}} }du) \,$ $\frac{1}{18} (\int { u^{-4}du }+ 7*\int { u^{-5} }du )$

Luego resuelves las integrales.

Según las reglas de tabla de integrales 
$\int { u^{-4}du } = u^{-4+1}/(-4+1)= u^{-3}/(-3)$ 
$\int { u^{-5}du } = u^{-5+1}/(-5+1)= u^{-4}/(-4)$

Por lo tanto te queda
=$\frac{1}{18} (\frac{u^{-3}}{-3} + 7*\frac{u^{-4}}{-4} )+c$

=$\frac{1}{18} (\frac{1}{-3*u^{3}} + 7*\frac{1}{-4*u^{4}} )+c$

sumando normalmente:
$=\frac{1}{18} (\frac{1}{-3*u^{3}} + 7*\frac{1}{-4*u^{4}})+c$
$=\frac{1}{18} (\frac{-4u+-7*3}{12u^{4}} }})+c$
$=\frac{1}{18*12} (\frac{-4u-21}{u^{4}} }})+c$

como u=4x-7 reemplazas
$\frac{1}{18*12} (\frac{-4(4x-7)-21}{(4x-7)^{4}} }} )+c$
$\frac{1}{216} (\frac{-16x+28-21}{(4x-7)^{4}} }} )+c$
$\frac{1}{216}(\frac{-16x+7)}{(4x-7)^{4}} }} +c$
$\frac{-16x+7}{216*(4x-7)^{4}} +c$