Question

Andrea abre su alcancía y encuentra que hay $ 100.000. Si ahorra en monedas de $ 1000 y de $ 500 y hay en total 130 monedas, ¿Cuántas monedas de cada denominación habían en la alcancía?​

Answer 1

En la alcancía habían 70 monedas de $ 1000

y 60 monedas de $ 500

 

Solución

Llamamos variable "x" a las monedas de 1000 y variable "y" a las monedas de 500

Donde sabemos que

El total de monedas que Andrea tenía en la alcancía es de 130

Donde sabemos que el monto total que suman las monedas es de $ 100000

Teniendo monedas de denominación de $ 1000

Teniendo monedas de denominación de $ 500

Se debe determinar cuantas monedas de cada denominación habían en la alcancía

Por lo tanto planteamos un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de monedas de denominación de 1000 y la cantidad de monedas de denominación de 500 para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de monedas que Andrea tenía en total en la alcancía

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 130 }}$                         $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego como Andrea ahorra en dos denominaciones o en dos clases de monedas sumamos las monedas de valor de $ 1000 y las monedas de valor de $ 500 para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que estas suman

$\large\boxed {\bold {1000x \ + \ 500y = 100000 }}$   $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {y =130 -x }}$                             $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar cuantos monedas tenía Andrea de cada denominación en la alcancía

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =130 -x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {1000x \ + \ 500y = 100000 }}$

$\boxed {\bold {1000x \ + \ 500\ (130 -x) = 100000 }}$

$\boxed {\bold {1000x \ + \ 65000\ -500x = 100000 }}$

$\boxed {\bold {65000 \ + \ 500x =100000 }}$

$\boxed {\bold { 500x = 100000-65000 }}$

$\boxed {\bold { 500x = 35000 }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{35000}{500} }}$

$\large\boxed {\bold { x =70 }}$

Por lo tanto Andrea tenía 70 monedas de $ 1000

Hallamos la cantidad de monedas de $ 500 que Andrea tenía

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =130 -x }}$

$\boxed {\bold {y =130 -70 }}$

$\large\boxed {\bold {y =60 }}$

Luego Andrea tenía 60 monedas de $ 500

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 130\ monedas}}$

$\boxed {\bold { 70 \ monedas\ de \ \ \ 1000\ +\ 60 \ monedas\ de \ \ \ 500\ = 130 \ monedas}}$

$\boxed {\bold {130 \ monedas = 130 \ monedas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {1000x \ + \ 500y = 100000 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 1000 \ . \ 70 \ monedas\ \ +\ \ \ 500 \ . \ 60 \ monedas\ = \ \ 100000 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 70000 \ + \ \ \ 30000 = \ \ 100000 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 100000= \ \ 100000 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$