Analiza las siguientes gráficas y determina si son funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas."Argumentando"
Respuestas a la pregunta
Primero se definirá los conceptos mencionados en el problema:
Función inyectiva: cuando a cada valor del dominio le corresponde uno y sólo un valor del rango. Gráficamente, si al trazar una recta horizontal sólo toca un punto de la gráfica entonces se dice que la función es inyectiva
Función sobreyectiva: Es aquella función para la cual a cada elemento el conjunto de llegada le corresponde, al menos, un elemento del dominio
Función biyectiva: Debe ser inyectiva y sobreyectiva
Con lo indicado se procede a analizar las gráficas
a. La gráfica corresponde a una función cuadrática
Función inyectiva
Gráficamente al trazar una recta horizontal se observa que toca dos puntos de la gráfica, por lo tanto no es inyectiva
Función sobreyectiva
Dominio f(x) = R
Rango f(x) = [-a,+inf)
Por lo tanto la función no es sobreyectiva
Función biyectiva
Como la función no es ni inyectiva ni sobreyectiva entonces no es biyectiva
b. La gráfica corresponde a una función lineal
Función inyectiva
Gráficamente al trazar una recta horizontal se observa que toca sólo un punto de la gráfica, por lo tanto es inyectiva
Función sobreyectiva
Dominio f(x) = R
Rango f(x) = R
Por lo tanto la función es sobreyectiva
Función biyectiva
Dado que la función es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva
c. La gráfica corresponde a la función valor absoluto
Función inyectiva
Gráficamente al trazar una recta horizontal se observa que toca dos puntos de la gráfica, por lo tanto no es inyectiva
Función sobreyectiva
Dominio f(x) = R
Rango f(x) = [0,+inf)
Por lo tanto la función no es sobreyectiva
Función biyectiva
Como la función no es ni inyectiva ni sobreyectiva entonces no es biyectiva
d. La gráfica corresponde a una función cúbica
Función inyectiva
Gráficamente al trazar una recta horizontal se observa que toca sólo un punto de la gráfica, por lo tanto es inyectiva
Función sobreyectiva
Dominio f(x) = R
Rango f(x) = R
Por lo tanto la función es sobreyectiva
Función biyectiva
Dado que la función es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva
A partir del análisis de las gráficas, tenemos la siguiente clasificación de las funciones:
- En referencia a la figura a, que corresponde a una función cuadrática, la misma no es inyectiva ni sobreyectiva.
- Para la gráfica de la figura b, que corresponde a una función lineal, tenemos que es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva.
- De acuerdo a la gráfica de la figura c, que corresponde a la función valor absoluto, la misma no es inyectiva ni sobreyectiva, sin embargo puede hacerse sobreyectiva si se define f(x): R → R⁺ .
- Para la gráfica de la figura d, que corresponde a la función cúbica, la misma es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto en biyectiva.
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