ANALIZA EL PROBLEMA PLANTEADO COMO MODELO Y PROPÓN UNA SITUACION SIMILAR
El gerente comercial de una empresa editorial de Guayaquil estima que si el precio de un libro de INGLES es de $25 venta 12000 ejemplares. Por cada dólar que se incremente el precio, las ventas disminuye en 500 ejemplares. Qué precio deberá fijarse a cada libro de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea el máximo? ¿ Cuál es el monto de dicho ingreso .
SOLUCIÓN:
DEMUESTRE EL PROBLEMA.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el número de ejemplares vendidos. L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso.
Si x representa el número de dólares en que se incrementa el precio de cada ejemplar, entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y 10 000 – 4000 x es el nuevo número de ejemplares vendidos. La función que representa el ingreso en términos del número de dólares en que se aumenta el precio del libro es:
L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x).
Esta función L(x) recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere optimizar. La derivada de la función L(x) es:
L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x),
L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x,
L´(x) = –8 00x + 2 000,
L´(x) = 0 ⇒ 800 x = 2 000, x = 2000 / 800; x =2,5
Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el ingreso máximo. De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2,5, se obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se sustituye x en la función L(x).
L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)]
L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000)
L (2,5) = $202.500,00
Este valor representa el máximo ingreso.
Si x representa el número de dólares en que se incrementa el precio de cada ejemplar, entonces 25 + x es el nuevo precio del libro y 12 000 – 5000 x es el nuevo número de ejemplares vendidos. La función que representa el ingreso en términos del número de dólares en que se aumenta el precio del libro es:
Esta función L(x) recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere optimizar. La derivada de la función L(x) es:
L´(x) = (1)(12 000 – 500x) – 500(25 + x),
L´(x) = 12 000 – 500x – 12 500 – 500 x,
L´(x) = –10 000x + 500,
L´(x) = 0 ⇒ 10 000 x = 500, x = 500 / 10 000; x =0.05
L (0.05) = (25 + 0.05) [12 000 – 500(0.05)]
L (0.05) = (22,5) [12 000 – (25)
L (0.05) = $7,524.000
Este valor representa el máximo ingreso.