Analiza el problema planteado como modelo y propón una situación similar.
• Reflexiona sobre el siguiente modelo de problema resuelto:La gerente comercial de una empresa editorial de Alausí estima que si el precio de un libro
de Kichwa es de $20, vende 10 000 ejemplares. Por cada dólar que se incremente el
precio, las ventas disminuyen en 400 ejemplares. ¿Qué precio deberá fijarse a cada libro de
manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea el máximo?, ¿cuál
es el monto de dicho ingreso?
Solución: Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el número de ejemplares ven-
didos. L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso.
Si x representa el número de dólares en que se incrementa el precio de cada ejemplar,
entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y 10 000 – 4 000 x es el nuevo número de ejem-
plares vendidos. La función que representa el ingreso en términos del número de dólares en
que se aumenta el precio del libro es:
L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x).
Esta función L(x) recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere
optimizar. La derivada de la función L(x) es:
L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x),
L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x,
L´(x) = –8 00x + 2 000,
L´(x) = 0 800 x = 2 000, x = 2000 / 800; x =2,5
Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe incrementar el precio
del libro para obtener el ingreso máximo. De esta manera, al incrementar el precio de venta
del libro en $2,5, se obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se sustituye
x en la función L(x).
L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)]
L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000)
L (2,5) = $202.500,00
Este valor representa el máximo ingreso.Conclusiones: Recuerda que es importante realizar cálculos reales cuando se trata de
emprender una empresa
Respuestas a la pregunta
Espero y te ayude
esta todo y también los ejercicios 2 y 4
Respuesta:
Para obtener el ingreso maximo, el precio de cada ejemplar deberá ser de $45 y se obtendra unos ingresos de $1620000
Resolvamos primero el problema planteado: si se venden en $20 entonces se venderán 10000 ejemplares.
Si se vende cada ejemplar a un precio de "x" dólares donde "x" es mayor o igual que 20, entonces, se venderán 10000 ejemplares menor lo que se le aumenta a 20 por 400.
10000 - (x - 20)*400
= 10000 - 400x + 8000
= 18000 - 400x
El ingreso sera: el precio de venta por la cantidad de ejemplares que sera:
x*( 18000 - 400x) = 18000x - 400x²
Para maximar ingresos: calculamos la derivada e igualamos a cero
18000 - 400x = 0
18000 = 400x
x = 18000/400 = 45 dólares
El ingreso sera:
18000*45 - 400*45² = 1620000 dólares
Explicación paso a paso: