Question

Analice la concavidad de la función siguiente: f(x)= (x-2)√x^2+0.5

Answer 1

La función es cóncava hacia abajo en $(-\infty;0,5)$ y cóncava hacia arriba en $(0,5;+\infty)$

Explicación:

La concavidad de una función está dada por la derivada segunda de ella, la que resulta de derivar dos veces la función. La derivada primera es:

$f(x)=(x-2)\sqrt{x^2+0,5}\\\\f'(x)=\sqrt{x^2+0,5}+(x-2)\frac{1}{2\sqrt{x^2+0,5}}.2x=\sqrt{x^2+0,5}+\frac{x^2-2x}{\sqrt{x^2+0,5}}\\\\f'=\frac{x^2+0,5+x^2-2x}{\sqrt{x^2+0,5}}=\frac{2x^2+0,5-2x}{\sqrt{x^2+0,5}}$

Con esta función se puede hallar la derivada segunda de la función, que es la que vamos a analizar:

$f''=\frac{(4x-2)\sqrt{x^2+0,5}-(2x^2+0,5-2x)\frac{2x}{2\sqrt{x^2+0,5}}}{x^2+0,5}\\\\f''=\frac{(4x-2)\sqrt{x^2+0,5}-(2x^2+0,5-2x)\frac{x}{\sqrt{x^2+0,5}}}{x^2+0,5}$

El denominador de esta expresión es siempre positivo, por lo que vamos a analizar el signo del numerador:

$(4x-2)\sqrt{x^2+0,5}-(2x^2+0,5-2x)\frac{x}{\sqrt{x^2+0,5}}$

Hallando los ceros de la función queda:

$(4x-2)\sqrt{x^2+0,5}=(2x^2+0,5-2x)\frac{x}{\sqrt{x^2+0,5}}\\\\(4x-2)(x^2+0,5)=(2x^2+0,5-2x)x\\\\4x^3-2x^2+2x-1=2x^3-2x^2+0,5x\\\\4x^3+2x-1=2x^3+0,5x\\\\2x^3+1,5x-1=0\\\\x=0,5$

Para x<0,5 la derivada segunda es negativa, lo que significa que la función es cóncava hacia abajo en $(-\infty;0,5)$ y la derivada segunda es positiva para x>0,5 por lo que la función es cóncava hacia arriba en $(0,5;+\infty)$