Question

Ana se encuentra en la azotea de un edificio observando a otro edificio que se encuentra a 70 m de distancia. El ángulo de elevación al tope del edificio es de 32° y el ángulo de depresión a la base del edificio es de 41° ¿Cuál es la altura del edificio observado? . GRAFIQUE

Answer 1

La altura del Edificio B es de 104.60 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Dado que una persona desde la azotea o parte superior de un edificio observa la parte inferior de otro edificio con un ángulo de depresión de 41° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 32°:

Llamando al edificio donde se encuentra el observador "Edificio A" y al otro edificio- "Edificio B"-

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del Edificio B-, con un ángulo de depresión de 41°, el lado DB que es una porción del Edificio B y a la vez coincide con la altura del primer edificio - el Edificio A - en donde se halla la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al Edificio B y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del Edificio B-, con un ángulo de elevación de 32°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del Edificio B -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal del Edificio A hasta el Edificio B

Donde se pide hallar la altura "h" del otro edificio al que llamamos B

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del Edificio B

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

En ABD

Hallamos la altura x – altura del Edificio A- que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 41° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 41^o }$

$\boxed{\bold { tan(41^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(41^o)= \frac{ altura \ x }{ distancia\ edificios } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x = distancia \ edificios\ . \ tan(41^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =70 \ metros \ . \ tan(41^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =70 \ metros\ . \ 0.869286737816 } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =60.85 \ metros } }$

Luego la altura x es de 60.85 metros, siendo la altura del Edificio A - que coincide con una porción de la altura del Edificio B-

En ACD

Hallamos la altura y - segunda porción de la altura del Edificio B -

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 32^o }$

$\boxed{\bold { tan(32^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(32^o) = \frac{ altura \ y }{distancia \ edificios } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ edificios \ . \ tan(32^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =70 \ metros \ . \ tan(32^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =70 \ metros\ . \ 0.624869351909 } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =43.74 \ metros } }$

Por tanto la altura y es de 43.74 metros, siendo la otra parte de la altura del Edificio B

Hallamos la altura h del Edificio B

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio \ B \ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio \ B \ (h)= 60.85 \ m +\ 43.74 \ m = 104.59\ m } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio \ B \ (h) =104.60\ metros } }$

La altura del Edificio B es de 104.60 metros

Se agrega gráfico solicitado a escala como adjunto