Question

Ana escribe conjuntos de cinco enteros positivos consecutivos con la siguiente propiedad: La suma de tres de los números es tan grande como la suma de los otros dos. ¿Cuántos conjuntos con esta propiedad ha escrito Ana?

Seleccione una:
a. 2
b. 3
c. 0
d. Mas de 3
e. 1

Answer 1

Ana podrá formar 10 conjuntos, por lo tanto la opción correcta es opción d mas de 3.

Si tengo 5 números consecutivos, entonces sea "a" el menor de ellos mis números son:

a, a+1, a+2, a+3, a+4

Además como son consecutivos entonces "a" debe ser entero.

Ahora nos dice la suma de dos de los números es igual a la suma de los otros tres, si tomamos pares de números es igualamos la suma de ellos a la suma de los otros 3 debemos obtener un "a" entero

Si nos fijamos al sumar los tres números con los otros dos números obtenemos algo de la forma:

a+k1+a+k2 = a+k3+a+k4+a+k5

Donde k1, k2, k3, k4, k5 de acuerdo a los número que tomamos serán 0,1,2,3,4

2a+k6 = 3a+k7

donde k6= k1+k2 y k7= k3+k4+k5 y son enteros, pues suma de enteros es entero.

Si despejamos:

a = k6-k7

Pero k6 y k7 son enteros. por lo tanto su resta es entero. Entonces Ana podrá formar tantos conjuntos como combinaciones puede tomar. La cantidad de combinaciones, es la manera de tomar números de 2 en 5 o lo que es lo mismo de 3 en 5:

$\frac{5!}{2!*3!} = \frac{5*4*3!}{2*3!} = \frac{20}{2}= 10$

Ana podrá formar 10 conjuntos, por lo tanto la opción correcta es opción d mas de 3.