Question

Ana encontró un cartón rectangular en su casa y decide reciclarla realizando con él una caja sin tapa para guardar en ella los cables y accesorios de su ce lular. El cartón mide 40 por 20 centímetros y la construcción se realizará recortando cuatro cuadrados iguales en cada una de las esquinas. Escribe las expresiones algebraicas de la Superficie y el Volumen de la caja en función del lado del cuadrado.La siguiente imagen muestra los cortes que realizará Ana en el cartón para hacer la caja. Para expresar la Superficie de la caja, debemos identificar primero que al recortar los cuadros de las esquinas se forman cinco rectángulos, recuerda que la Superficie de un rectángulo se obtiene al multiplicar la base por la altura, es decir S = bh. En este caso tenemos cinco rectángulos por lo tanto debemos obtener la expresión para cada uno, para la Superficie 1 (S1) la base es x y la altura es 20 – 2x, entonces la expresión de la Superficie 1sería: S1 = x (20 – 2x) Expresa algebraicamente las otras cuatro superficies: S2 = S3 = S4 = S5 = La superficie total de la caja será S = S1 S2 S3 S4 S5 Escribe la expresión de la Superficie sumando las cinco expresiones obtenidas anteriormente. S = Para calcular el Volumen de la caja, recordemos que el Volumen es Superficie de la base por la altura, en este caso la Superficie de la base es S5 y la altura x. Expresa la expresión algebraica que representa el volumen de la caja. V = (S5) (x) V = a) Encuentra el volumen de la caja su altura es de 5 centímetrob) Encuentra la superficie de la caja si la altura es de 3 cm (S=836 cm2)c) Si necesitamos que la superficie de la caja sea de 784 cm2 ¿Cuánto debe valer la altura de la caja?d) Si la altura de la caja es de cero cm., calcula la superficie total y el volumen de la caja. (S=800 cm2 y V =0 cm3) e) Considera las superficies S1, S2, S3, S4 y S5, cuestan para la base cuesta $1.2 cada cm2 y paredes laterales cuesta $1.5 cada cm2, si la altura de la caja es de 3 cm, calcula cuánto dinero se gastará en forrar todo el interior de la caja.f) Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 7 cm g) Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 8 cm

Answer 1

1) Vamos a hallar la expresión que permite calcular la superficie en función de "x".
x=lado del cuadrado de la esquina.

S₁(x)=(20-2x).x=20x-2x²,
S₂(x)=(40-2x).x=40x-2x²
S₃(x)=S1=20x-2x²
S₄(x)=S2=40x-2x²
S₅(x)=(40-2x).(20-2x)=800-120x+4x²

S(x)=S₁(x)+S₂(x)+S₃(x)+S₄(x)+S₅(x)
S(x)=(20x-2x²)+(40x-2x²)+(20x-2x²)+(40x-2x²)+(800-120x+4x²)
S(x)=-4x²+800.

2)Vamos a calcular la expresión algebraica que nos permite calcular el volumen.
V(x)=(800-120x+4x²).x
V(x)=800x-120x²+4x³.

a)Calcular el volumen si  su altura es 5 cm.

V(5)=800.(5)-120.(5)²+4.(5)³=1500.

Sol: 1500 cm³

b)Superficie de la caja si su altura es 3 cm.
S(x)=-4x²+800
S(3)=-4.(3)²+800=-36+800=764

Sol: 764 cm².

c) altura de la caja sabiendo que la superficie es 784 cm².
S(x)=-4x²+800
784=-4x²+800
4x²=800-784
4x²=16
x²=16/4
x=₊√4=2

Sol: 2 cm.

d) Si la altura es "x"; no habría caja, sólo una superfie plana.
S(x)=-4x²+800
S(0)=-4.(0)²+800=800 

Sol: la superficie valdría 800 cm²

V(x)=800x-120x²+4x³.
V(0)=800.(0)-120.(0)²+4(0)³=0+0+0=0

Sol: el volumen sería 0 cm³, por tanto no tendríamos un cuerpo tridimensional, es decir una caja, sólo una superficie plana.

e)Realicemos la función gasto.
G(x)=función gasto, nos dice el gasto en "$", en función de la altura de la caja.
x=altura de la caja.

S₁+S₂+S₃+S₄=120x-8x²
S₅=800-120x+4x²)

G(x)=1,2.S₅+1,5.(S₁+S₂+S₃+S₄)
G(x)=1,2(800-120x+4x²)+1,5(120x-8x²)
G(x)=960-144x+4,8x²+180x-12x²
G(x)=-7,2x²+36x+960

G(3)=-7,2.(3)²+36.(3)+960
G(3)=-64,8+108+960=1003,2.

Sol: $1003,2.

f) volumen en litros siendo la altura 7 cm.
v(x)=800x-120x²+4x³
V(7)=800.(7)-120.(7)²+4.(7)³=1092.

1 litro---------------1000 cm³
x--------------------- 1092 cm³
x=(1 litro.1092 cm³) / 1000 cm³=1,092 litros.

Sol: 1,092 litros.

g) volumen en litros siendo la altura 8 cm.
v(x)=800x-120x²+4x³
V(8)=800.(8)-120.(8)²+4.(8)³=768 

1 litro------------1000 cm³
x-----------------   768 cm³
x=(1 litro.768 cm³)/1000 cm³=0,768 litros.

Sol: 0,768 litros.