Question

Ana (A) y Carlos (C) se encuentran separados √3 m de distancia, mientras que Carlos y Beto (B) √2 m, como se muestra en la figura. Si el ángulo formado entre las líneas que van de Carlos a Beto y de Beto a Ana es de 120º, ¿Cuál es el valor del ángulo formado por la líneas que van de Beto a Ana y de Ana a Carlos?

Answer 1

El valor del ángulo buscado es de 45°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC: en donde en cada uno de los vértices ubicamos a las tres personas. Teniendo a Ana, Beto y Carlos en los vértices A, B y C respectivamente. En donde los lados BC (a) y AC (b) equivalen a las distancias entre Beto y Carlos y desde Ana a Carlos respectivamente de las cuales conocemos sus valores siendo de √2 metros la primera y de√3 metros la segunda . Y el lado AB (c) que representa la distancia desde Ana a Beto. Conociendo que el ángulo en la esquina donde se ubica Beto es de 120°

Donde se pide hallar el valor del ángulo formando por las líneas que van de Beto a Ana y de Ana a Carlos

Lo que resulta en la medida del ángulo del vértice A, que es donde se ubica Ana

Denotamos al ángulo dado por enunciado: donde se ubica Beto de 120° como β

Llamamos a las distancias de separación conocidas de√2 metros entre Beto y Carlos y a la distancia de √3 metros entre Ana y Carlos como "a" y "b" respectivamente y al ángulo donde se ubica Ana como α

Hallamos el valor del ángulo A formado por las líneas que van de Beto a Ana y de Ana a Carlos

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{\sqrt{2} \ m }{ sen (A ) } = \frac{ \sqrt{3} \ m }{sen(120 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ \sqrt{2} \ m \ . \ sen(120^o ) }{\sqrt{3} \ m } }}$

$\boxed { \bold {sen (A) = \frac{ \sqrt{2} \not m \ . \ sen(120^o ) }{\sqrt{3} \not m } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{ \sqrt{2} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{\sqrt{3} }} }$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{ \frac{\sqrt{2 \ . \ 3} }{2} }{\sqrt{3} }} }$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{ \frac{\sqrt{6} }{2} }{\sqrt{3} }} }$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{6} }{2} . \ \frac{1}{\sqrt{3} } }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{6} }{2} . \left(\ \frac{1}{\sqrt{3} } \ . \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \right) }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{6} }{2} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^{2} } }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{6} }{2} \ .\ \frac{\sqrt{3} }{3 } }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{18} }{6} }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{9 \ . \ 2} }{6} }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{3^{2} \ . \ 2} }{6} }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{3\sqrt{2} }{6} }}$

$\boxed { \bold { sen A = \frac{\not3\sqrt{2} }{\not3 \ . \ 2} }}$

$\large\boxed { \bold { sen A = \frac{\sqrt{2} }{2} }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{2} } { 2 } }$

Por tanto

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed { \bold { A = arcsen\left( \frac{\sqrt{2} }{2}\right) }}$

$\large\boxed { \bold { A = 45 ^o }}$

El valor del ángulo A (α) donde se encuentra Ana es de 45°

Aunque el enunciado no lo pida hallamos el valor del del tercer ángulo C- donde se encuentra Carlos-  al cual denotamos como γ

Ya sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 120^o+ 45^o+C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 120^o - 45^o }}$

$\large\boxed {\bold {C= 15^o }}$

El valor del ángulo C (γ) donde se ubica Carlos es de 15°

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones de los lados y los ángulos planteadas