Matemáticas, pregunta formulada por paulinaperez84, hace 1 año

Amiguitos ayudemen porfavor 1. Minimizar la función F(x, y) = 4x + 6y sujeta a: { + ≥ 5 + 3 ≥ 9 4 + ≥ 8 ≥ 0 ≥ 0
2. Maximizar la función F(x, y) = 5x + 3y sujeta a: { ≤ 10 − 2 ≤ 6 3 + 4 ≥ 24 ≥ 0 ≥ 0
3. Minimizar la función F(x, y) = 15x + 30y sujeta a: { + 5 ≥ 14 2 + ≥ 10 ≥ 0 ≥ 0 MIL GRACIAS AYUDEMEN A RESOLVER

Respuestas a la pregunta

Contestado por mafernanda1008
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1) La función es mínima en el punto (3,2), es decir, x = 3, y = 2

2) La función es máxima en el punto (26/3, 4/3), es decir, x = 26/3, y = 4/3

3) La función  es mínima en el punto (4,2), es decir: x = 4, y = 2

1) Tenemos que:

Minimizar: F(x,y) = 4x + 6y

S.A.

x + y ≥ 5

x + 3y ≥ 9

4x + y  ≥  8

x ≥ 0

y ≥ 0

Usaremos el método gráfico:

Si observamos la imagen adjunta 1 vemos en rosado las restricciones al problema que fueron graficadas para encontrar la región factible que señalamos en turquesa.

Luego por programación lineal sabemos que los mínimos y máximos posibles están en los vértices de la región factible, en circulo podemos ver los vértices que son:

A: (0,8)

B: (1,4)

C: (3,2)

D: (9,0)

Evaluamos en la función optima:

F(0,8) = 4*0 + 6*8 = 48

F(1,4) = 4*1 + 6*4 = 4 + 24 = 28

F(3,2) = 4*3 + 6*2 = 24

F(9,0) = 4*9 + 6*0 = 36

Como queremos que la función sea mínima entonces tomamos la que arroja menor valor que es el vertice C = (3,2)

La función es mínima en el punto C =  (3,2)

2) Tenemos que:

Maximizar: F(x,y) = 5x + 3y

S.A.

x + y ≤ 10

x - 2y ≤ 6

3x + 4y  ≥  24

x ≥ 0

y ≥ 0

Usaremos el método gráfico:

Si observamos la imagen adjunta 2 vemos en rosado las restricciones al problema de menor o igual y en azul las de mayor o igual, que fueron graficadas para encontrar la región factible que señalamos en turquesa.

Luego por programación lineal sabemos que los mínimos y máximos posibles están en los vértices de la región factible, en circulo podemos ver los vértices que son:

A: (0,10)

B: (0,6)

Y los puntos de intersección de las rectas:

i) y = 10 - x con y = 0.5x - 3

ii) y = 0.5x - 3 con y = 6-3/4x

Buscamos dichos puntos

i) 10 - x = 0.5x - 3

10 + 3 = 0.5x + 1

13 = 1.5x

x = 13/1.5 =  26/3 = 8.6667 entonces y = 0.5*8.6667 -3 = 4/3 = 1.3333

ii) 0.5x -3 = 6 - 3/4x

0.5x + 3/4x = 6 +3

5/4x = 9

x = 4/5*9 = 36/5 = 7.2 Entonces y = 0.5*7.2 - 3 = 0.6

Por lo tanto los otros vértices son:

C: (26/3, 4/3)

D: (7.2, 0.6)

Evaluamos en la función optima:

F(0,10) = 5*0 + 3*10 = 30

F(0,6) = 5*0 + 3*6 = 0+ 18 = 18

F(3,2) = 5*26/3 + 3*4/3 = 130/3 + 4 = 142/3 = 47.3333

F(7.2, 0.6) = 5*7.2 + 3*0.6 = 37.8

Como queremos que la función sea máxima entonces tomamos la que arroja mayor valor que es el vértice C = (26/3, 4/3)

La función es mínima en el punto C =  (26/3, 4/3)

3) Tenemos:

Min. F(x, y) = 15x + 30y

S.A.

x + 5y ≥ 14

2x + y ≥ 10

x ≥ 0

y≥ 0

En la imagen adjunta 3 se observa que graficamos las restricciones en color rosado para obtener la región factible, la región marcada en azul es la región factible y en círculos observamos los vértices de la región factible

Luego visualizamos los vértices de la región factible que son:

A : (0,10) ,  B:  (14, 0) y el punto de intersección entre:

x + 5y = 14

2x + y = 10

C: (4,2)

Por programación lineal sabemos que uno de los tres vértices es la solución optima. Reemplazamos cada uno de ellos en la función objetivo:

A : (0,10)  entonces F(0,10) = 15*0 + 30*10 = 300

B: (14,0) entonces F(14,0) = 15*14 + 30*0 = 210

C: (4, 2) entonces F(4,2) = 15*4 + 30*2 = 120

Y como queremos que sea mínimo el que nos da el valor mínimo es el vértice C (4,2)

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