Question

Altura de una torre. Una torre de agua está situada a 325 de un edificio (vea la fi gura). Desde una ventana del edificio, un observador ve que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es 39° y que el ángulo de depresión de la parte inferior de la torre es 25°. ¿Cuál es la altura de la torre?

Answer 1

La altura de la torre de agua es de 414.73 pies

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.    

Dado que una persona desde una ventana en lo alto de un edificio observa la parte inferior de una torre de agua con un ángulo de depresión de 25° y la parte superior de la misma con un ángulo de elevación de 39°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior de la torre de agua-, vista con un ángulo de depresión de 25°, el lado DB que es una porción de la altura de la torre de agua y a la vez coincide con la altura de la ventana -en donde se encuentra el observador-, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión a la torre de agua y también la distancia horizontal hasta esta, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior de la torre de agua -, vista con un ángulo de elevación de 39°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura de la torre de agua -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal desde la ventana hasta la torre de agua

Donde se pide determinar la altura "h" de la torre de agua

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” -donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" de la torre de agua

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

En ABD

Hallamos la altura x - altura de la ventana - que coincide con una porción de altura del depósito de agua-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 25° al punto B para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 25^o }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ altura \ x }{distancia \ a \ la \ torre } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =distancia \ a \ la \ torre \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =325 \ pies \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =325\ pies \ . \ 0.466307658155 } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =151. 5499\ pies } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =151.55\ pies } }$

Luego la altura x es de 151.55 pies, siendo la altura de la ventana -que coincide con una porción de la altura de la torre de agua-

En ACD

Hallamos la altura y -  segunda porción de la altura de la torre de agua-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 39^o }$

$\boxed{\bold { tan(39^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(39^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia \ a \ la \ torre } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y = distancia \ a \ la \ torre\ . \ tan(39^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =325 \ pies \ . \ tan(39^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =325 \ pies \ . \ 0.809784033195 } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =263.1798 \ pies } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =263.18 \ pies } }$

Por tanto la altura y es de 263.18 pies - siendo la otra parte de la altura de la torre de agua-

Hallamos la altura h de la torre de agua

$\boxed{\bold { Altura \ de \ la\ Torre\ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ de \ la\ Torre\ (h)= 151.55 \ pies +\ 263.18 \ pies } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ de \ la\ Torre\ (h)=414.73\ pies } }$

La altura de la torre de agua es de 414.73 pies

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto