Question

alrededor de que eje tendra una esfera uniforme de madera, el mismo momento de inercia que tiene una esfera hueca de plomo con los mismos valores de masa y radio alrededor de un eje que pasa por su diámetro ​

Answer 1

La esfera maciza de madera tiene que girar alrededor de un eje situado a una distancia de su centro equivalente a la mitad de su radio para tener el mismo momento de inercia que una esfera hueca de plomo de igual masa y radio alrededor de un eje que pasa por su centro.

Explicación:

Tenemos que la esfera de madera y la de plomo tendrán el mismo radio y la misma masa, con la diferencia que la segunda será hueca. La densidad de la madera es de 900kg por metro cúbico mientras que la del plomo es 11300 kg por metro cúbico. El volumen de la esfera de madera es:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Y el de la esfera de plomo es, siendo r el radio exterior y r el radio interior:

$V=\frac{4}{3}\pi (r^3-r_i^3)$

Pues bien, para hallar el momento de inercia de esta última necesitamos su radio interior, considerando que las masas y radios exteriores de ambas esferas son iguales tenemos:

$\delta_M\frac{4}{3}\pi r^3=\delta_{Pb}\frac{4}{3}\pi (r^3-r_i^3)\\\delta_M r^3=\delta_{Pb} (r^3-r_i^3)\\\\r_i=r\sqrt[3]{\frac{\delta_{Pb}-\delta_{M}}{\delta_{Pb}}}=r\sqrt[3]{\frac{11300-900}{11300}}=0,97r$

El momento de inercia de la esfera hueca de plomo es entonces:

$I_{Pb}=\frac{2}{5}M\frac{r^5-r_i^5}{r^3-r_i^3}=\frac{2}{5}M\frac{r^5-(0,97r)^5}{r^3-(0,97r)^3}\\\\I_{Pb}=\frac{2}{5}Mr^2\frac{1-0,97^5}{1-0,97^3}=\frac{2}{5}Mr^2.1,615$

Mientras que el momento de inercia de la esfera maciza de madera es:

$I_{M}=\frac{2}{5}Mr^2$

Con lo cual, necesitamos que el momento de inercia de la esfera de madera sea 1,615 mayor que el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masas. Vamos a utilizar el teorema de Steiner para hallar la distancia del centro de masas del nuevo eje.

$I_{M2}=\frac{2}{5}Mr^2+Md^2=1,615.\frac{2}{5}Mr^2\\\\d^2=\frac{2}{5}r^2(1,615-1)\\\\d=r\sqrt{\frac{2}{5}.0,615}=0,496r$

Lo que interpretamos como que para que la esfera maciza de madera tenga el mismo momento de inercia que una esfera hueca de plomo de igual masa y radio, tiene que rotar alrededor de un eje a una distancia del centro equivalente a la mitad de su radio.