Estadística y Cálculo, pregunta formulada por Usuario anónimo, hace 1 año

alguno me podría ayudar en calculo integral se los agradeceria mucho y de corazón


gracias

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Contestado por seeker17
1
Bueno para el primer ejercicio...primero recordemos como se resolvía un binomio elevado al cubo
 (a+b)^{3} = a^{3} +3a ^{2} b+3a b^{2} +b^{3}

Con ésto y recordando que las propiedades de las integrales:

 \int\limits {(f(x)+g(x)+h(x)+...)} \, dx = \int\limits{f(x)} \, dx +\int\limits{g(x)} \, dx +\int\limits{h(x)} \, dx +..

Aplicando todo ésto vamos a resolver el primero ejercicio

 \int\limits {(2x+9) ^{3} } \, dx = \int\limits {(( 2x )^{3}+3(2x) ^{2}9+3(2x) 9^{2}+ 9^{3}   )} \, dx =... \\  \\ ...= \int\limits {(8 x^{3}+108 x^{2} +486x+729) } \, dx

Ah ésta integral ya podemos calcular su primitiva...

\int\limits {(8 x^{3}+108 x^{2} +486x+729) } \, dx= 8\frac{ x^{4} }{4}  +108 \frac{ x^{3} }{3}  +486 \frac{ x^{2} }{2} +729x+C= \\  \\...=2 x^{4} +36 x^{3} +243 x^{2} +729x+C

Para el segundo ejercicio 
 \int\limits {sin ^{2}(2x)cos(2x) } \, dx

Tenemos que hacer un sustitución así, y derivamos

u=2x \\ du=2dx \\ dx= \frac{du}{2}

Entonces nos quedaría así...

 \int\limits {sin ^{2}(u)cos(u) } \,  \frac{du}{2} = \frac{1}{2}  \int\limits {sin^{2}(u)cos(u) } \, du

Sacamos la constante para que no nos moleste...
Ahora tenemos que hacer otra sustitución 

v=sin(u) \\ dv=cos(u)du \\ du= \frac{dv}{cos(u)}

Entonces nos quedaría así

 \frac{1}{2}  \int\limits { v^{2}cos(u) } \,  \frac{dv}{cos(u)}=  \frac{1}{2}  \int\limits { v^{2} } \, dv= \frac{1}{2}  \frac{ v^{3} }{3} +C \\  \\ Pero:v=sin(u) \\  \frac{1}{6} sin ^{3} (u)   \\ Pero:u=2x \\  \frac{1}{6} sin ^{3} (2x)+C

Para el siguiente tenemos 

 \int\limits {( e^{x}+1 )^{2} e^{x}  } \, dx

Bueno podríamos desarrollar ese binomio al cuadrado...y luego multiplicar por el último factor....e integraríamos como de costumbre pero se ve más divertido...haciendo una sustitución, entonces consideremos

u= e^{x} +1 \\ du= e^{x} dx \\dx= \frac{du}{ e^{x} }  \\   \\  \int\limits{ (u^{2}) e^{x}  } \, \frac{du}{ e^{x} }  = \int\limits { u^{2} } \, du= \frac{ u^{3} }{3} +C \\ Pero:u= e^{x} +1 \\  \\  \frac{( e^{x}+1 )^{3} }{3} +C

Y para el último ejercicio tenemos, bueno para los ÚLTIMOS¡..no me di cuenta...¬¬

Haber...tenemos

 \int\limits {4x e^{2x} } \, dx

Entonces podemos integrar por sustitución

u=2x \\ du=2dx \\ dx= \frac{du}{2}
Pero vamos a necesitar que todo esté en función de "u"...entonces despejemos del cambio de variable..."x" entonces nos queda

x= \frac{u}{2}

entonces nos quedaría así

 \int\limits {4 \frac{u}{2} e^{u}  } \,  \frac{du}{2}  =  \int\limits{4 \frac{ue^{u} }{4} } \, du = \int\limits {u e^{u} } \, du

Ahora tenemos que integrar por partes para eso debemos recordar la integral que necesitamos

 \int\limits {udv} \,=uv- \int\limits {vdu} \,
Puedes acordarte:
"Un día vi=una vaca -vestida dunifome"

Para eso debemos escoger quien va a ser nuestra "u"...y lo que sobre será "dv"...Para eso usamos la técnica: ILATE, (Inversa,Logaritmica,Aritmética,Trigonométrica,Exponencial)

Para ésto buscamos en la integral que queremos integrar que función es la asoma primero según pronuncias la palabra ILATE...entonces tenemos una Aritmética, y luego una Exponencial...entonces ya sabemos quien será nuestro "U"..voy a poner en mayúsculas para no confundirnos...

U=u \\ dU=du \\  \\ Entonces: \\  e^{u}du =dV \\ Integrando \\  e^{u} =V

Entonces nos quedaría 

 \int\limits {u e^{u} } \, du=u e^{u} - \int\limits { e^{u} } \, du= ue^{u} - e^{u} +C \\ Pero:u=2x \\  \\ 2x e^{2x} - e^{2x} +C

Nota: hay que tener cuidado, cuando hacemos sustituciones no hay que acostumbrarse a usar la "u"...porque ya viste lo que pasó...te puedes confundir....

Para el último...:D¡¡

 \int\limits {xsec ^{2}(x) } \, dx

Ahora tendremos que integrar por partes...Considerando ILATE...primero tenemos una función aritmética...y luego una trigonométrica...entonces ya sabemos quien va a ser nuestro "u"

u=x \\ du=dx

Y lo que sobre 

 sec^{2} (x)dx=dv \\ Integramos \\ tan(x)=v

Entonces nos quedaría

 \int\limits {xsec ^{2}(x) } \, dx =xtan(x)- \int\limits {tan(x)} \, dx

Ahora si no te sabes esa integral...podemos hacerla aparte...como recordarás

tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)}  \\ Entonces: \\  \\  \int\limits{ \frac{sin(x)}{cos(x)} } \, dx

y para integrar ésto consideremos una sustitución...así..

r=cos(x) \\ dr=-sin(x)dx \\  \\ dx= -\frac{dr}{sin(x)}  \\  \\ Entonces \\  \\  \int\limits{ \frac{sin(x)}{r} } \,  \frac{-dr}{sin(x)} =   \int\limits {- \frac{dr}{r} } \, =-ln( |r|)  =-ln( |cos(x)|)+C

reemplazando en lo que dejamos anteriormente..


\int\limits {xsec ^{2}(x) } \, dx =xtan(x)- (-ln( |cos(x)|))} \, dx =... \\  \\ ...=xtan(x)+ln( |cos(x)|)+C

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas

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