Matemáticas, pregunta formulada por breiner15p4gz17, hace 1 año

Algun experto en ecuaciones diferenciales que me colabore con este ejercicio.
Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: (y^2+1)-ye^(-x) dy/dx=0, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como:

A: e^x-ln√(y^2+1)=1
B: e^x+ln√(y^2+1)=1
C: e^(-x)+ln√(y^2+1)=-1
D: e^(-x)-ln√(y^2+1)=1

breiner15p4gz17: Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx

breiner15p4gz17: fabian y tu me podrias ayudar a hacer el ejercico no logro entender como se hace gracias.

Respuestas a la pregunta

Contestado por F4BI4N

$(y^2+1)-ye^{-x} \frac{dx}{dy} =0 \\ \\ \textbf{Separa variables:} \\ \\ \frac{y}{y^{2}+1}dy = e^{x}dx \\ \\ \textbf{Integra:} \\ \\ \int \frac{y}{y^{2}+1}dy = \int e^{x}dx \\ \\ \frac{1}{2}ln(y^{2} + 1) = e^x + C \\ \\ ln(\sqrt{y^{2}+1}) = e^x + C \\ \textbf{Eval\'ua:} \\ \\ $ln(1) = e^{0} + C \\ \\ \boxed{C = -1} \\ \\ \therefore ln(\sqrt{y^{2}+1}) = e^x - 1 \\ \\ \rightarrow \boxed{e^{x} - ln(\sqrt{y^{2}+1}) = 1 }$