alguien sabría cómo hacer este ejercicio de ecuaciones diferenciales? realmente no entiendo como resolverlo
Adjuntos:
Respuestas a la pregunta
Contestado por
2
Jajaja pero porque lo pones en Primaria o donde es que estudias , eso lo vi en la universidad !!! .
Al problema :
![\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{2x^3\cos(x^2)}{y} \ , \ y(\sqrt{\pi}\,)=0 \\[4pt]
\text{Sea \ }u=\frac{y}{x} \ \Rightarrow \ y=ux \ \Rightarrow \ \frac{dy}{dx}=u+x\,\frac{du}{dx} \\[4pt]
\text{Se reemplaza en la ecuaci\'{o}n} : \\[4pt]
u+x\,\frac{du}{dx}=u+\frac{2x^3\cos(x^2)}{ux} \\[4pt]
\text{simplificando se obtiene : } \\[4pt]
x\,\frac{du}{dx} =\frac{2x^2\cos(x^2)}{u} \ \Rightarrow \ \frac{du}{dx}=\frac{2x\cos(x^2)}{u} \\[4pt]
\Rightarrow \ u\,du=2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B2x%5E3%5Ccos%28x%5E2%29%7D%7By%7D+%5C+%2C+%5C+y%28%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5C%2C%29%3D0+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7BSea+%5C+%7Du%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D+%5C+%5CRightarrow+%5C+y%3Dux+%5C+%5CRightarrow+%5C+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Du%2Bx%5C%2C%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7BSe+reemplaza+en+la+ecuaci%5C%27%7Bo%7Dn%7D+%3A+%5C%5C%5B4pt%5D%0Au%2Bx%5C%2C%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3Du%2B%5Cfrac%7B2x%5E3%5Ccos%28x%5E2%29%7D%7Bux%7D++%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7Bsimplificando+se+obtiene+%3A+%7D++%5C%5C%5B4pt%5D%0Ax%5C%2C%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%3D%5Cfrac%7B2x%5E2%5Ccos%28x%5E2%29%7D%7Bu%7D+%5C+%5CRightarrow+%5C+%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7B2x%5Ccos%28x%5E2%29%7D%7Bu%7D++%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5CRightarrow+%5C+u%5C%2Cdu%3D2x%5Ccos%28x%5E2%29%5C%2Cdx+%5C%5C%5B4pt%5D%0A "\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{2x^3\cos(x^2)}{y} \ , \ y(\sqrt{\pi}\,)=0 \\[4pt]
\text{Sea \ }u=\frac{y}{x} \ \Rightarrow \ y=ux \ \Rightarrow \ \frac{dy}{dx}=u+x\,\frac{du}{dx} \\[4pt]
\text{Se reemplaza en la ecuaci\'{o}n} : \\[4pt]
u+x\,\frac{du}{dx}=u+\frac{2x^3\cos(x^2)}{ux} \\[4pt]
\text{simplificando se obtiene : } \\[4pt]
x\,\frac{du}{dx} =\frac{2x^2\cos(x^2)}{u} \ \Rightarrow \ \frac{du}{dx}=\frac{2x\cos(x^2)}{u} \\[4pt]
\Rightarrow \ u\,du=2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]")
![\displaystyle \Rightarrow \ u\,du=2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]
\text{Se integra a ambos lados } \\[4pt]
\int u\,du=\int 2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]
\frac{u^2}{2}=\sin (x^2)+C \\[4pt]
\text{Se repone el cambio de variable} \\[4pt]
\frac{(y/x)^2}{2}=\sin (x^2)+c \\[4pt]
\Rightarrow \ y^2=2x^2\sin(x^2)+2c\,x^2 \\[4pt]
\text{De la condici\'{o}n cuando } x=\sqrt{\pi } \text{ entonces } y=0\\[4pt]
\text{Se reemplaza}\\[4pt]
0^2=2(\sqrt{\pi}\,)^2\sin(\pi )+2c\,\pi \ \Rightarrow \ 0 = 0+2c\,\pi \ \Rightarrow \ c=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5CRightarrow+%5C+u%5C%2Cdu%3D2x%5Ccos%28x%5E2%29%5C%2Cdx+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7BSe+integra+a+ambos+lados+%7D+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Cint+u%5C%2Cdu%3D%5Cint+2x%5Ccos%28x%5E2%29%5C%2Cdx+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Cfrac%7Bu%5E2%7D%7B2%7D%3D%5Csin+%28x%5E2%29%2BC++%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7BSe+repone+el+cambio+de+variable%7D+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Cfrac%7B%28y%2Fx%29%5E2%7D%7B2%7D%3D%5Csin+%28x%5E2%29%2Bc++%5C%5C%5B4pt%5D+%0A%5CRightarrow+%5C++y%5E2%3D2x%5E2%5Csin%28x%5E2%29%2B2c%5C%2Cx%5E2+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7BDe+la+condici%5C%27%7Bo%7Dn+cuando+%7D+x%3D%5Csqrt%7B%5Cpi+%7D+%5Ctext%7B+entonces+%7D+y%3D0%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Ctext%7BSe+reemplaza%7D%5C%5C%5B4pt%5D%0A0%5E2%3D2%28%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5C%2C%29%5E2%5Csin%28%5Cpi+%29%2B2c%5C%2C%5Cpi+%5C+%5CRightarrow+%5C+0+%3D+0%2B2c%5C%2C%5Cpi++%5C+%5CRightarrow+%5C+c%3D0+ "\displaystyle \Rightarrow \ u\,du=2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]
\text{Se integra a ambos lados } \\[4pt]
\int u\,du=\int 2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]
\frac{u^2}{2}=\sin (x^2)+C \\[4pt]
\text{Se repone el cambio de variable} \\[4pt]
\frac{(y/x)^2}{2}=\sin (x^2)+c \\[4pt]
\Rightarrow \ y^2=2x^2\sin(x^2)+2c\,x^2 \\[4pt]
\text{De la condici\'{o}n cuando } x=\sqrt{\pi } \text{ entonces } y=0\\[4pt]
\text{Se reemplaza}\\[4pt]
0^2=2(\sqrt{\pi}\,)^2\sin(\pi )+2c\,\pi \ \Rightarrow \ 0 = 0+2c\,\pi \ \Rightarrow \ c=0")
![\text{Por lo tanto la soluci\'{o}n es : } \\[6pt]
y^2=2x^2\sin(x^2)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7BPor+lo+tanto+la+soluci%5C%27%7Bo%7Dn+es+%3A+%7D+%5C%5C%5B6pt%5D+%0Ay%5E2%3D2x%5E2%5Csin%28x%5E2%29 "\text{Por lo tanto la soluci\'{o}n es : } \\[6pt]
y^2=2x^2\sin(x^2)")
Al problema :
Otras preguntas