Question

Alguien sabe la respuesta a esta ecuacion diferencial?

$( {x}^{2} - 1) \frac{dy}{dx} + 2y = ( {x + 1)}^{2}$
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Answer 1

La ecuación diferencial que tienes es:

$(x^2-1)\frac{dy}{dx}+2y=(x+1)^2$

Primero dividimos toda la ecuación por (x²-1) para que el coeficiente de la derivada sea 1:

$\frac{(x^2-1)}{(x^2-1)} \frac{dy}{dx}+\frac{2}{(x^2-1)} y=\frac{(x+1)^2}{(x^2-1)} \\\\\frac{dy}{dx}+\frac{2}{(x^2-1)} y=\frac{x+1}{x-1}$

Ahora ya tiene forma de ecuación diferencial lineal, donde:

$p(x)=\frac{2}{(x^2-1)}\\\\q(x)=\frac{x+1}{x-1}$

Calculamos μ(x):

$\mu (x)=e^{\int p(x) dx}\\\\\mu (x)=e^{\int \frac{2}{(x^2-1)} dx}\\\\\mu (x)=e^{ln(\frac{x-1}{x+1} )}\\\\\mu (x)=\frac{x-1}{x+1}$

*La integral se resuelve por fracciones parciales, pero como este ejercicio es de ecuaciones diferencial, omití los pasos y puse el resultado directo.

Ahora, sustituimos en la solución general de ecuaciones diferencial lineales:

$y\mu =\int \mu q(x) dx\\\\y(\frac{x-1}{x+1} )=\int (\frac{x-1}{x+1} )\frac{x+1}{x-1} dx\\\\y(\frac{x-1}{x+1} )=\int dx\\\\y(\frac{x-1}{x+1} )=x+C\\\\y(x)=\frac{x+1}{x-1}(x+C)$

Respuesta: $y(x)=\frac{x+1}{x-1}(x+C)$