Question

Alguien que pueda ayudarme a resolver está integral triple

Answer 1

Explicación:

Calcular la integral triple $\int { \int { \int\limits^{}_W {(1+z^{2} )} \, dx } \, dy } \, dz$ , siendo W la región limitada por $2az = x^{2} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} - z^{2} = a^{2}$ , $z=0$

• La función $2az = x^{2} + y^{2}$ genera un paraboloide
• La función $x^{2} + y^{2} - z^{2} = a^{2}$ genera un hiperboloide

La intersección del paraboloide y el hiperboloide genera la circunferencia $x^{2} + y^{2} =2a^{2}$ ; por tanto, la región de integración se limita superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano $z=0$ y lateralmente por el hiperboloide.

Al redefinir entonces la expresión original se tiene:

$I = \int { \int\limits^{}_{x^{2} + y^{2} \leq a^{2} } {} \, dx } \, dy \: \cdot \: \int\limits^{\frac{x^{2}+y^{2}}{2a} }_{0} {(1+z^{2})} \, dz \: \: + \: \: \int { \int\limits^{}_{a^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq 2a^{2} } {} \, dx } \, dy \: \cdot \: \int\limits^{\frac{x^{2}+y^{2}}{2a} }_{\sqrt{x^{2} + y^{2} - a^{2}} } {(1+z^{2})} \, dz$

Reescribiendo se tiene:

$I = \int\limits^{2\pi}_{0} {} \, dv \: \cdot \: \int\limits^{a}_{0} {u} \, du \: \cdot \: \int\limits^{\frac{1}{2a} u^{2} }_{0} {(1+z^{2})} \, dz + \int\limits^{2\pi}_{0} {} \, dv \: \cdot \: \int\limits^{a\sqrt{2} }_{0} {u} \, du \: \cdot \: \int\limits^{\frac{1}{2a} u^{2} }_{\sqrt{u^{2}-a^{2}} } {(1+z^{2})} \, dz$

$I = \pi a^{2} \left( \frac{u^{2}}{2a} + \frac{u^{3}}{24a^{3}} \right) + \pi a u^{2} - 2\pi a^{2} \sqrt{u^{2}-a^{2}} + \frac{\pi u^{6}}{12a} - \frac{1}{3} [ 2\pi a^{2} ( u^{2}-a^{2} )^{\frac{3}{2} } ]$

$I = \frac{1}{24x} \left[ -16\pi a^{3} \sqrt{(u^{2}-a^{2})^{3}} - 48\pi a^{3} \sqrt{u^{2}-a^{2}} + 36\pi a^{2} u^{2} + 2\pi u^{6} +\pi u^{3} \right]$

Al simplificar la expresión resulta:

$I = \frac{1}{30} \pi a^{3} (10 + a^{2})$