Question

Alguien que me ayude por favor se los agradecería :)
Necesito el procedimiento y el resultado

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Answer 1

3.-

Hacemos la integración por partes:

$\int xsen(x)dx\\\\\rightarrow uv-\int vdu$

valores de "u" y "v"

$u=x\\\\du=1\\\\v= \int sen(x) dx =-cos(x)\\\\dv=sen(x)$

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

$(x)(-cos(x))-\int (-cos(x))(1)dx\\\\\rightarrow -xcos(x)-\int -cos(x)dx\\\\\rightarrow -xcos(x)- -\int cos(x) dx\\\\\rightarrow -xcos(x)+\int cos(x) dx\\\\\rightarrow -xcos(x)+ sen(x)$

Agregamos la constante:

$\rightarrow -xcos(x)+ sen(x)+C$

Ordenamos el resultado:

$=sen(x)-xcos(x) +C$

4.-

Hacemos la integración por partes:

$\int x(cos(x))^{2}dx\\\\\rightarrow uv-\int vdu$

valores de "u" y "v"

$u=x\\\\du=1\\\\ *v=\int (cos(x))^2 = \frac{1}{4} sen(2x)+\frac{1}{2}x \\\\dv=(cos(x))^2$

*integral usada para calcular "v":

$v=\int (cos(x))^2$

*usamos identidades trigonométricas para simplificar el "(cos(2x))²"

*Tenemos las identidades:

$cos(2x)=(cos(x))^{2}-(sen(x))^{2}$

$(sen(x))^{2} +(cos(x))^{2} =1$

*Despejamos "(sen(x))²"  de la segunda identidad trigonométrica:

$(sen(x))^{2} +(cos(x))^{2} =1\\\\\rightarrow (sen(x))^{2} =1 -(cos(x))^{2}$

*Sustituimos el despeje de "(sen(x))²" en la primera identidad y resolvemos para "(cos(2x))²"

$cos(2x)=(cos(x))^{2}-(sen(x))^{2}\\\\\rightarrow cos(2x)=(cos(x))^{2}-(1-(cos(x))^{2})}\\\\\rightarrow cos(2x)=(cos(x))^{2}-1+(cos(x))^{2}}\\\\\rightarrow cos(2x)=2(cos(x))^{2}-1\\\\\rightarrow cos(2x)+1=2(cos(x))^{2}\\\\\rightarrow \frac{cos(2x)+1}{2}=(cos(x))^{2}\\\\(cos(x))^{2}=\frac{1}{2}cos(2x) +\frac{1}{2}$

*Ya que tenemos "(cos(2x))²" simplificado con las identidades trigonométricas podemos pasar a resolver la integral para saber cuanto vale "v":

$v= \int \frac{1}{2}cos(2x) +\frac{1}{2} dx\\\\\rightarrow v = \int \frac{1}{2} (cos(2x)+1)dx\\\\\rightarrow v = \frac{1}{2} \int cos(2x)+1 dx\\\\\rightarrow v = \frac{1}{2} ( \int cos(2x) dx+ \int dx)\\\\\rightarrow v = \frac{1}{2} ( \int cos(2x) dx+x)$

*Para resolver "∫cos(2x)dx" integramos por sustitución:

$w=2x\\\\dw=2dx\\\\dx=\frac{dw}{2} \\\\\rightarrow \int cos(w)\frac{dw}{2} \\\\\rightarrow \int \frac{1}{2} (cos(w)dw)\\\\\rightarrow \frac{1}{2} \int cos(w)dw\\\\\rightarrow \frac{1}{2} sen(w)\\\\= \frac{1}{2} sen(2x)$

*Sustituimos el resultado de "∫cos(2x)dx" para calcular "v"

$\rightarrow v= \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} sen(2x)+x)\\\\ v=\frac{1}{4}sen(2x) +\frac{1}{2}x$

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

$(x)(\frac{1}{4} sen(2x) + \frac{1}{2} x)-\int (\frac{1}{4}sen(2x)+\frac{1}{2} x )(1)dx\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} -\int \frac{1}{4}sen(2x)+\frac{1}{2} x dx\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} -\int \frac{1}{4}sen(2x)dx+\int \frac{1}{2} x dx\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{4} \int sen(2x)dx+ \frac{1}{2} \int x dx)$

$\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} \int sen(2x)dx- \frac{1}{2} \int x dx\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} \int sen(2x)dx- \frac{1}{2} (\frac{1}{2}x^{2} )\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} \int sen(2x)dx- \frac{1}{4}x^{2}$

Para resolver "-1/4 ∫sen(2x)dx" integramos por sustitución:

$s=2x\\\\ds=2dx\\\\dx=\frac{ds}{2} \\\\\rightarrow -\frac{1}{4} \int sen(s)\frac{ds}{2} \\\\\rightarrow -\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} (sen(s)ds) \\\\\rightarrow (-\frac{1}{4})(\frac{1}{2} ) \int (sen(s)ds) \\\\\rightarrow -\frac{1}{8}\int (sen(s)ds) \\\\\rightarrow -\frac{1}{8}(-cos(x))\\\\= \frac{1}{8}cos(x)$

Sustituimos el resultado de "-1/4 ∫sen(2x)dx" para obtener el valor de la integral:

$\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{8}cos(x) - \frac{1}{4}x^{2}$

Agregamos la constante:

$\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{8}cos(x) - \frac{1}{4}x^{2} +C$

Simplificamos el resultado:

$\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{8}cos(x) - \frac{1}{4}x^{2} +C\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4}x^{2} +\frac{1}{8}cos(x)+C\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{2}{4} x^{2} - \frac{1}{4}x^{2} +\frac{1}{8}cos(x)+C\\\\\rightarrow \frac{1}{4} xsen(2x) + \frac{1}{4} x^{2} +\frac{1}{8}cos(x)+C\\\\\rightarrow \frac{1}{4} x^{2} +\frac{1}{4} xsen(2x) +\frac{1}{8}cos(x)+C$

$\rightarrow (\frac{1}{4}) (x^{2} +xsen(2x) +\frac{1}{2}cos(x)+C)\\\\ = (\frac{1}{4}) (x^{2} +xsen(2x) +\frac{1}{2}cos(x))+C$

Recuerda que una constante "C" multiplicada por 1/4 sigue siendo una constante, por lo que se puede sacar del paréntesis sin modificación alguna