Question

Alguien que me ayude con estos dos ejercicios de calculo integral. Le doy 20 puntos

Answer 1

Al resolver los problemas se obtiene el área bajo la curva de cada función:

Ejercicio 1: A = 6,4 u²

Ejercicio 2: Método del rectángulo por la derecha. A = 22,75 u²

                  Método del rectángulo por la izquierda. A = 13,75 u²

El método del rectángulo consiste en formar N rectángulos bajo la curva y la suma del área de los rectángulos son es área bajo la curva o valor de la integral.

$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx \approx \Delta{x} \sum_{1}^{n} f(\overline{x_i})$

siendo;

$\Delta x =\frac{b - a}{n}$

$\overline{x_i} = \frac{x_{i-1}+x_i}{2}$

$x_i=a+i\Delta x$

Ejercicio 1.  

Si, f(x) = x² + 2x + 2, intervalo [-2, 1], 12 rectángulos.

• a = -2
• b = 1
• n = 12

sustituir;

Δx = [1 -(-2)]/12

Δx = 1/4 ó 0,25

Base

• x₁ = -2 + 1/4 = -1,76      
• x₂ = -2 + 2(1/4) = -1,5                              
• x₃ = -2 + 3(1/4) = -1,25                            
• x₄ = -2 + 4(1/4) = -1                      
• x₅ = -2 + 5(1/4) = -0,75
• x₆ = -2 + 6(1/4) = -0,5
• x₇ = -2 + 7(1/4) = -0,25
• x₈ = -2 + 8(1/4) = 0
• x₉ = -2 + 9(1/4) = 0,25
• x₁₀ = -2 + 10(1/4) = 0,5
• x₁₁ = -2 + 11(1/4) = 0,75
• x₁₂ = -2 + 12(1/4) = 1

Altura

• f(x₁) = (-1,76)² + 2(-1,76) + 2 = 1,58      
• f(x₂) = (-1,5)² + 2(-1,5) + 2 =  1,25                              
• f(x₃)= (-1,25)² + 2(-1,25) + 2  =  1,06                          
• f(x₄) = (-1)² + 2(-1) + 2 = 1                      
• f(x₅) = (-0,75)² + 2(-0,75) + 2 = 1,06
• f(x₆) = (-0,5)² + 2(-0,5) + 2  = 1,25
• f(x₇) = (-0,25)² + 2(-0,25) + 2 = 1,56
• f(x₈) = (0)² + 2(0) + 2  = 2
• f(x₉) = (0,25)² + 2(0,25) + 2 = 2,56
• f(x₁₀) = (0,5)² + 2(0,5) + 2 = 3,25
• f(x₁₁) = (0,75)² + 2(0,75) + 2  = 4,06
• f(x₁₂) = (1)² + 2(1) + 2 = 5

Sustituir;

A = (1/4)[1,58+1,25+1,06+1+1,06+1,25+1,56+2+2,56+3,25+4,06+5]

A = (1/4)(25,63)

A = 6,4 u²

Ejercicio 2.

Si, f(x) = 2x², intervalo [0, 3], 6 rectángulos.

• a = 0
• b = 3
• n = 6

sustituir;

Δx = [3 - 0]/6

Δx = 1/2 ó 0,5

Método del rectángulo por la derecha.

Base

• x₁ =  1/2 = 0,5      
• x₂ = 2(1/2) = 1                              
• x₃ =  3(1/2) = 1,5                            
• x₄ = 4(1/2) = 2                      
• x₅ = 5(1/2) = 2,5
• x₆ = 6(1/2) = 3

Altura

• f(x₁) = 2(0,5)² = 0,5     
• f(x₂) = 2(1)² =  2                            
• f(x₃)= 2(1,5)²  = 4,5                       
• f(x₄) = 2(2)² = 8                      
• f(x₅) = 2(2,5)² = 12,5
• f(x₆) = 2(3)² = 18

sustituir;

A = (1/2)[0,5+2+4,5+8+12,5+18]

A = 22,75 u²  

 

Método del rectángulo por la izquierda.

Base

• x₁ = 3 + 1/2 = 2,5      
• x₂ = 3 + 2(1/2) = 2                              
• x₃ =  3 + 3(1/2) = 1,5                            
• x₄ = 3 + 4(1/2) = 1                      
• x₅ = 3 + 5(1/2) = 0,5
• x₆ = 3 + 6(1/2) = 0

Altura

• f(x₁) = 2(2,5)² = 12,5     
• f(x₂) = 2(2)² =  8                           
• f(x₃)= 2(1,5)²  = 4,5                       
• f(x₄) = 2(1)² = 2                    
• f(x₅) = 2(0,5)² = 0,5
• f(x₆) = 2(0)² = 0

sustituir;

A = (1/2)[12,5+8+4,5+2+0,5+0]

A = 13,75 u²