Question

¿Alguien puede resolver esta desigualdad? Con el conuunto solución

Answer 1

Bueno no es muy complicada, lo primero es dejar lo que depende de equis de un solo lado y forma la desigualdad con un cero al otro lado, es decir,

$\displaystyle (2x+1)^{2}+3(x+2)^{2}\geq\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}\\(2x+1)^{2}+3(x+2)^{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}\geq0 \\ (4x^{2}+4x+1)+3(x^{2}+4x+4)-\left(x^{2}+x+\frac{1}{4}\right)\geq0 \\ 6x^{2}+15x+\frac{51}{4}\geq0 \\ 24x^{2}+60x+51\geq0$

ahora tenemos un factor común, podemos dividr todo entre 3, como es un número positivo entonces no pasa nada a la desigulada, enotnces,

$8x^{2}+20x+17\geq0$

ahora, si buscas en la calculadora o usando la ecuación general te vas a dar cuenta que eso te da solucinoes imaginarias por lo tanto no existen...pero con eso no nos confomramos....para eso debemos usar un "artificio"
 llamado "completar el cuadrado" usando un cero inteligente que vien establecido por $\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=0$ eso es cero verdad, entonces si usmo cero a cualquier cosa no pasa nada ¿verdad?,

Si tenemos un polinomio de grado dos (cuadrática) de la forma

$ax^{2}+bx+c$

se completa el cuadrado con el cero inteligente $\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=0$

en nuestro ejercicio, primero podemos dividir todo entre 8 y no pasa nada con el sentido de la desiguldad, entonces

$\displaystyle x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{17}{8}\geq0$

 identificamos que 

$a=1,b=\frac{5}{2} \\ \textrm{el cero inteligente sera:}\\\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=\displaystyle\left(\frac{\frac{5}{2}}{2(1)}\right)^{2}-\left(\frac{\frac{5}{2}}{2(1)}\right)^{2}=\displaystyle\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=0$

entonces, vamos a sumar un cero, y no cambia nada.

$\displaystyle x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{17}{8}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=0$

$\displaystyle\left(x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}\right)+\frac{17}{8}-\frac{25}{16}\geq0$

y lo que está entre paréntesis no se le percibe bien, pero es un caso de factorización, es un trinomio cuadrado perfecto, recordemos,

$a^{2}\pm2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$

entonces,

$\displaystyle\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}+\frac{17}{8}-\frac{25}{16}\geq0 \\\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}\geq-\frac{9}{16}$

y que pasó??...estás de acuerdo que algo elevado al cuadrado por diosito que siempre va a ser POSITIVO, y también sabemos que cualquier número positivo SIEMPRE va a ser mayor que cualquier vil y vulgar número negativo??...¿estás de acuerdo?

Moraleja...equis puede tomar el valor que el quiera...puede ser negativo, positivio, chiquito, grandote, decimal, fraccionario, riracional, trascendentales, el que quiera...por que siempre se va a cumplir que un número positivo siempre será mayor que un número negativo.


Por lo tanto.

$C.S.:\forall x/x\in\Re=(-\infty,+\infty)$

y se acabó