Question

Alguien puede explicarme cuando debo usar la integración por partes y cuando la integración por sustitución?

Answer 1

Respuesta:

Chispas, no es por desanimarte, pero no hay una regla especifica, la practica continua es la que te ayuda a identificar el método a seguir.

Sin embargo hay pistas que te ayudan a identificar cual es el método que te permite simplificarlas y resolverlas.

Aquí te dejo algunas de las mas usuales, que pueden resolverse de acuerdo a la forma del integrando o por sustitución o por partes.

Explicación paso a paso,:

1.-Integrales que pueden resolverse por sustitución.

$a).-\int{a^{x}}\,dx\\\textbf{Cambio de variable recomendado}\\z=a^{x}\\b).-\int{e^{x}}\,dx\\\textbf{Cambio recomendado}\\z=e^{x}\\c).-\int{(x,Ln(x))}\,dx\\\textbf{Cambio recomendado}\\z=Ln(x)\\d).-\int{(\sin^{m}(x),\cos^{n}(x))}\,dx\\\textbf{Cambios recomendados}\\z=\cos(x)\,\,\textbf{si m es impar}\\z=\sin(x)\,\,\textbf{si n es impar}\\z=\tan(x)\,\,\textbf{si m y n son pares}$

2.-Integrales que pueden resolverse por partes.

Forma de la integración por partes.

$uv-\int{v}\,du\\\textbf{Se busca que tanto u como v}\\\textbf{sean f\'aciles}\\\textbf{de derivar o integrar de}\\\textbf{tal modo que se}\\\textbf{obtenga un integrando mas sencillo}\\\textbf{que el original}\\1).-\int{xe^{x}}\,dx\\u=x\Rightarrow du=1\\dv=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}\\\\2).-\int{x\cos(x)}\,dx\\u=x\Rightarrow du=1\\dv=\cos(x)\Rightarrow v=\sin(x)\\\\3.-\int{Ln(x)}\,dx\\u=Ln(x)\Rightarrow du=\frac{1}{x}\\dv=1\Rightarrow v=x\\\\4.-\int{\sqrt{x}Ln(x)}\,dx\\u=Ln(x)\Rightarrow du=\frac{1}{x}\\dv=\sqrt{x}\Rightarrow v=\frac{2}{3}x^{3/2}$

Hay muchas mas (afortunadamente) pero ten comparto unas cuantas para que tengas una idea, y por supuesto practiques.

Saludos.