Alguien puede ayudarme con un ejercicio aplicado de la hiperbola, el cual es: Considera que dos personas que están a 2 millas una de la otra ven un despliegue de fuegos artificiales. Después de un periodo
de tiempo, la persona que está en el punto A oye la
explosión. Un segundo más tarde, la segunda persona
que está en el punto B oye la explosión. Si la persona en
el punto B está al oeste de la persona en el punto A y si
se sabe que el despliegue ocurrió al norte de la persona en el punto A, ¿dónde ocurrió el despliegue de fuegos
artificiales?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Sea un proyectil de masa m1+m2 que se dispara con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Cuando llega al punto más alto de su trayectoria hace explosión y se divide en dos fragmentos, separándose en dirección horizontal y en el plano de la trayectoria parabólica. Vamos a determinar la trayectoria de cada uno de los dos fragmentos y a calcular su alcance o la distancia de sus puntos de impacto en el suelo al origen.
Trayectoria del centro de masas
{
a
x
=
0
a
y
=
−
g
{
v
x
=
v
0
⋅
cos
θ
v
y
=
v
0
⋅
sin
θ
−
g
⋅
t
{
x
=
v
0
⋅
cos
θ
⋅
t
y
=
v
0
⋅
sin
θ
⋅
t
−
1
2
g
⋅
t
2
El punto más alto de la trayectoria se calcula poniendo vy=0, t=v0sinθ/g
H
=
v
0
sin
θ
v
0
sin
θ
g
−
1
2
g
(
v
0
sin
θ
g
)
2
=
v
2
0
sin
2
θ
2
g
El centro de masas impacta en el suelo y=0, en el instante
T
=
2
v
0
sin
θ
g
que se denomina tiempo de vuelo. El c.m. impacta a una distancia L del origen, denominado alcance
L
=
v
0
cos
θ
(
2
v
0
sin
θ
g
)
=
v
2
0
g
sin
(
2
θ
)
Explosión en dos fragmentos
En el punto más alto de la trayectoria, el proyectil que lleva una velocidad horizontal v0cosθ hace explosión dividiéndose en dos fragmentos. Supondremos que los dos fragmentos se mueven inicialmente en la misma dirección (eje X) y en el plano de la trayectoria (X, Y).
Aplicamos el principio de conservación del momento lineal y el balance energético a la colisión
(
m
1
+
m
2
)
v
0
cos
θ
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
1
2
(
m
1
+
m
2
)
(
v
0
cos
θ
)
2
+
Q
=
1
2
m
1
v
2
1
+
1
2
m
2
v
2
2
Despejamos v1 y v2 de este sistema de ecuaciones
v
2
2
−
2
v
0
cos
θ
⋅
v
2
+
v
2
0
cos
2
θ
−
2
Q
m
1
(
m
1
+
m
2
)
m
2
=
0
v
2
=
v
0
cos
θ
+
√
2
Q
m
1
(
m
1
+
m
2
)
m
2
v
2
1
−
2
v
0
cos
θ
⋅
v
1
+
v
2
0
cos
2
θ
−
2
Q
m
2
(
m
1
+
m
2
)
m
1
=
0
v
1
=
v
0
cos
θ
−
√
2
Q
m
2
(
m
1
+
m
2
)
m
1
Movimiento de los fragmentos después de la explosión
Las ecuaciones del movimiento de los dos fragmentos son similares. La ecuación del movimiento del primer fragmento es
{
a
x
=
0
a
y
=
−
g
{
v
x
=
v
1
v
y
=
0
{
x
=
L
2
+
v
1
⋅
t
y
=
H
−
1
2
g
⋅
t
2
El punto de impacto en el suelo y=0, se produce en el instante
t
=
√
2
H
g
=
T
2
El alcance del primer fragmento o distancia del punto de impacto en el suelo al origen es
x
1
=
L
2
+
v
1
T
2
De modo similar, El alcance del segundo fragmento es
x
2
=
L
2
+
v
2
T
2
Comprobamos que la posición del centro de masa es xcm=L
x
c
m
=
m
1
x
1
+
m
2
x
2
m
1
+
m
2
=
(
L
2
+
v
0
cos
θ
T
2
)
+
m
2
√
2
Q
m
1
(
m
1
+
m
2
)
m
2
−
m
1
√
2
Q
m
2
(
m
1
+
m
2
)
m
1
m
1
+
m
2
=
L
Representamos la trayectoria del proyectil y la de los dos fragmentos. La línea a trazos representa la trayectoria del centro de masa de los dos fragmentos. La energía Q de la explosión es una fracción f de la energía cinética del proyectil en el punto más alto. Se sugiere modificar la velocidad inicial v0, el ángulo de tiro θ el cociente m=m1/m2 de las masas de los fragmentos y el valor de la fracción f
v0=8; %velocidad inicial
th=50*pi/180; %ángulo
m=1.5; %cociente m1/m2
H=(v0*sin(th))^2/(2*9.8); %altura máxima
L=v0^2*sin(2*th)/9.8; %alcance
T=2*v0*sin(th)/9.8; %tiempo de vuelo
f=0.5; %fracción
%energía de la explosión, una fracción de la energía cinética de la
%partícula en el punto más alto
Q=f*(m+1)*(v0*cos(th)^2/2);
%después de la explosión
v1=v0*cos(th)*(1+sqrt(f*m));
v2=v0*cos(th)*(1-sqrt(f/m));
hold on