Question

-Alguien patea un balón de fútbol, que sale despedido en un ángulo de 37° y con una velocidad de 20 m/s. Sabiendo que la constante gravitatoria es de 9.8 m/s^2, calcule:

- la altura máxima del balón

- el tiempo total que permanece en el aire

-la distancia que ha recorrido al caer.

Answer 1

La altura máxima que alcanza el balón es de 7.35 metros

El tiempo de vuelo del proyectil es de 2.45 segundos

El alcance máximo del proyectil es de 39.24 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (37^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 37 grados es de }\bold{ \frac{3}{5} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{3}{5}\right )^{2} }{ 19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{9}{25} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{9}{25} }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{3600}{25} }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 144 }{ 19.6\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 7.346938\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 7.35\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 7.35 metros

Hallamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (37^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{3}{5} }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{3}{5} }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ \frac{120}{5} }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{24 }{9.8 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2.4489795\ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.45 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 2.45 segundos

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 37 ^o) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2}} \ . \ sen (74 ^o) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \ . \ 0.9612616959383 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 384.50467837532 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 346.4141016151377 }{ 9.8 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =39.23517\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =39.24 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 39.24 metros siendo esta la distancia que ha recorrido al caer

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento