Question

Alguien me puede explicar de donde sale el 360 que no entendí muy bien

Answer 1

El nº 360 es el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de todos los denominadores, es decir, el mcm del conjunto de números al cual le vas a calcular la media armónica y que están colocados como denominadores en la fórmula.

El m.c.m. de 2, 4, 5, 6, 8, 9,  yo lo calculo descomponiendo cada número en sus factores primos y a partir de esos factores, multiplicar todos los factores no comunes y los comunes elevados al mayor exponente.

• 2 = 2  (es factor primo y no se puede descomponer)
• 4 = 2²
• 5 = 5  (es factor primo y no se puede descomponer)
• 6 = 2 × 3
• 8 = 2³
• 9 = 3²

Factores comunes elevados al mayor exponente: 2³ y 3²

Factores no comunes: 5

m.c.m. = 2³ × 3² × 5 = 360

Ese número se toma como denominador común a todas las fracciones y los numeradores correspondientes en cada fracción se obtienen dividiendo el mcm entre el denominador y el resultado multiplicándolo por el numerador.

Como en este caso TODOS los numeradores son la unidad 1, los nuevos numeradores se calculan simplemente dividiendo 360 entre cada denominador y así tenemos:

• Para la primera fracción, divido 360 entre 2 y el resultado es 180 que colocaré como nuevo numerador porque al multiplicarlo por 1 se queda igual.
• Para la segunda fracción, divido 360 entre 4 y el resultado es 90 que colocaré como nuevo numerador
• ... y así hago con todas las demás.

Después de esa operación ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador y podemos sumar los numeradores resultando la fracción final de 487/360

$\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{5} +\dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{9}\ =\ \dfrac{180}{360} +\dfrac{90}{360} +\dfrac{72}{360} +\dfrac{60}{360} +\dfrac{45}{360} +\dfrac{40}{360}\ =\\ \\ \\= \dfrac{180+90+72+60+45+40}{360}\ =\ \dfrac{487}{360}$

Ahora ya se trata de resolver el "castillo" de fracciones:

$H=\dfrac{6}{\dfrac{487}{360} } =\frac{\dfrac{6}{1}}{\dfrac{487}{360} } =\dfrac{6\times360}{1\times487} =\boxed{\bold{\dfrac{2160}{487}}}$