Question

Alguien me puede explicar cual es la formula para hallar las coordenadas del vértice en una parábola y su demostración.

Answer 1

Coordenada del vértice.
(-b/2a, f(-b/2a))
1 Demostración por derivadas:
Recordando el concepto de derivadas este nos dice que  la pendiente de la recta tangente en el punto es la derivada, entonces cuando la pendiente es 0 en este caso por ser una parábola obtenemos un máximo o un mínimo, debido a que la parabola es simetrica no se puede tener un punto en x que corresponda a un unico punto en f(x)  a menos de que este sea el vértice.
ax²+bx+c= y
y' = 2ax +b
0 = 2ax + b
-b/2a= x

2. En esta demostración haremos uso de un hecho que tienen en común todas las parábolas y es el punto de corte con el eje "y".
absolutamente todas las funciones cuadráticas cortan con el eje "y" solo una vez.
Entonces calculemos el punto de corte con el eje y de:
ax²+bx+c = f(x)
a0²+b0+c=f(0)  
c= f(0)

Es decir que cuando x vale 0 f(x) vale c.
Por definición la parábola  por cada f(x) tiene dos x a excepción del vértice.

es decir que cundo f(x) = c x vale 0 y otro valor.
Calculando ese otro valor obtenemos:

ax²+bx+c = c
x(ax +b) = 0
x=0
ax+b= 0.......x=-b/a
x=-b/a
x=0
aquí obtenemos los dos puntos en una misma recta horizontal "y" que como podemos notar coinciden si b = 0
para hallar el vértice de la parábola sabiendo que es simétrica habrá que hallar la diferencia entre estos valores y dividirla entre 2.


x= -b/a - 0 /2 = -b/2a