alguien me puede ayudar por favor en este problema
Respuestas a la pregunta
A continuación se explican cada uno de los ejercicios paso a paso
Antes de resolver cada ejercicio, debemos tener en cuenta ciertas cosas
- Una parábola abre hacia arriba si el coeficiente del término al cuadrados es positivo
- Una parábola abre hacia abajo si el coeficiente del término al cuadrado es negativo
- Una parábola se dice que tiene vértice (h,k) si se puede escribir de la siguiente manera y = q(x-h)² + k
Sabiendo esto, podemos fácilmente resolver cada ejercicio
Primer Ejercicio
En este caso solo nos piden que la parábola abra hacia arriba, por lo que debemos simplemente debemos añadir un factor de ax², donde a es cualquier número mayor a cero
Es decir, t(x) = ax² + x -1; a > 0
Segundo Ejercicio
Ahora, debemos hallar un valor para el que
(x-0)² + (0) = x² + a, resolviendo podemos ver que a = 0, puesto que
(x-0)² = x²
x² = x² + a
a = 0
Es decir, m(x)= x²
Tercer Ejercicio
En este ejercicio nos piden hallar una constante a tal que ax² - 1/2 abra hacia abajo, pero, nosotros sabemos que cualquier a negativa nos da esto, por lo que
h(x)=ax² -1/2; a < 0
Cuarto Ejercicio
En este ejercicio, lo que tenemos que hacer es sustituir x =0, debido a que en x =0, la parábola interseca al eje y, además sabemos que esta intersección es en el punto (0,1), por lo que
t(0) = 1
(0)² + a = 1
a = 1
Por lo que la función es t(x) = x² + 1
Quinto Ejercicio
Nuevamente el coeficiente de x² debe ser negativo, es decir, n(x)= ax² + 3/4; a < 0
Sexto Ejercicio
Para este caso, tenemos dos posibilidades
- Que el término que queremos obtener sea de primer grado, es decir, ax, donde buscamos a
- Que el término que queremos sea una constante a
En ambos casos el resultado es el mismo.
Para empezar, vemos que x debe ser 1 y r(1) debe ser 0, por lo que
r(1)=(1)² + a(1) - 5 = 1 + a -5 = a -4
a - 4 = 0
a = 4
Como expliqué, si solo se considera la constante el resultado es el mismo, es decir
r(x)=x² + 4x - 5
r(x) = x² + 4 - 5 = x² - 1
Séptimo Ejercicio
En este último ejercicio, debemos aplicar la completación de cuadrados que simplemente es tratar de expresar el polinomio como un binomio cuadrado perfecto más una constante
Para hacer esto, sabemos que debemos buscar un valor a, tal que
ax² - 4x -3 tenga un vértice en (1,-5)
En este caso de ax² - 4x factorizamos a, es decir
ax² - 4x = a(x² - 4ax) = a( (x)² - 2(2/a)(x))
Debemos recordar que un binomio al cuadrado se expresa de la siguiente manera
(x-k)² = x² -2(k)(x) + k²
Si comparamos esto con nuestra ecuación vemos lo siguiente
x² -2(k)(x) + k²
x² -2(2/a)(x)
Podemos notar que k = 2/a, pero, debemos tener un k², por lo que el truco es sumar k² y restarlo, dado que no alteramos el resultado, es decir:
k = 2/a
x² -2kx = x² -2kx + k² - k² = (x² -2kx + k² ) - k² = (x-k)² -k²
x² -2(2/a)(x) = (x-2/a)² -(4/a²)
Que es ciertamente lo que queremos, es decir
ax² -4x = a[ x² - (4/a)x ] = a[ (x-2/a)² - 4/(a²) ] = a(x-2/a)² - 4/a
Entonces, vemos que la función es
n(x) = ax² - 4x - 3 = a(x-2/a)² - 4/a - 3
Una vez hecho este trabajo, debemos ver según la tercera nota del inicio, debemos buscar un valor para a tal que
a(x-2/a)² - 4/a - 3 = a(x-1)² - 5
La forma más fácil de ver esto es con
-2/a = -1
2/a = 1
a = 2
Por lo que ya hemos hallado el valor de a y la función es
n(x) = 2x² -4x - 3