Question

Alguien me puede ayudar con la siguiente integral, O por lo menos un indicio de cómo resolverla, Gracias. (e)=euler.

Answer 1

Bueno, la idea es aplicar una integración por partes,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT$

consideramos el criterio de ILATE: entonces u=T, entonces du=dT, y dv=e^{-2T}dT e integramos,  v=-e^{-2T}/2 entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT=\left(-T\frac{e^{-2T}}{2}\right|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}{-\frac{e^{-2T}}{2}}dT$

usando algunas propiedades de las integrales...podemos simplificar de la siguiente forma...y también usando las leyes de los exponentes, entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT=\left(-\frac{T}{2e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-2T}}dT$

ahora, esa integral, ya esmucho más fácil, entonces,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{Te^{-2T}}dT=\left(-\frac{T}{2e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{2}\left(-\frac{e^{-2T}}{2}\right|_{-\infty}^{\infty} \\ \\ \\ ...=\left(-\frac{T}{2e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{e^{2T}}\right|_{-\infty}^{\infty}$

para hallar el valor, debemos usar el teorema fundamental del cálculo para integrales impropias, entonces, 

$\displaystyle\int_{b}^{a}{F(x)}dx=F(b)-F(a)=\lim_{x\rightarrow b}}{F(x)}-\lim_{x\rightarrow a^{+}}F(x)$

ahora,

$\displaystyle F(b)-F(a)=\lim_{b\rightarrow-\infty }\left({-\frac{1}{2e^{2b}}}b-\frac{1}{4e^{2b}}\right)=\infty \\ \\ F(b)-F(a)=\lim_{b\rightarrow+\infty }\left({-\frac{1}{2e^{2b}}}b-\frac{1}{4e^{2b}}\right)=0 \\ \\ ...=0-\infty \\ \\ Integral=-\infty$

y eso sería todo