Alguien me puede ayudar ???
Respuestas a la pregunta
Respuesta: *La ecuación de la recta tangente es y = 11x - 25
** Si existe. Su ecuación es y = 11x + 7
*** El punto es (3 , ln3)
Explicación paso a paso:
*La ecuación de la recta tangente es de la forma y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente y (x1,y1) es un punto de la recta.
Por definición, la derivada en el punto x =3 es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto (3 , f(3) ).
f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2
f'(x) = 3x² - 6x + 2
Entonces, m = f'(3) = 3 . (3)² - 6.3 + 2 = 11
Tenemos que la ordenada y del punto de tangencia es:
y = f(3) = 3³ - 3.3² + 2.3 + 2 = 8
Por tanto, (x1 , y1) = (3,8)
La ecuación de la recta tangente buscada es:
y - 8 = 11(x - 3)
⇒y = 11(x - 3) + 8
⇒y = 11x - 33 + 8
⇒y = 11x - 25
**Supongamos que f'(xo) = 11 y que xo ≠3.
Entonces, 3xo² - 6xo + 2 = 11 ⇒ 3xo² - 6xo - 9 = 0
⇒ xo² - 2xo - 3 = 0
⇒ (xo - 3) (xo + 1) = 0
⇒ xo - 3 = 0 ó xo + 1 = 0
⇒ xo = 3 ó xo = -1, como xo ≠ 3, xo = -1
Por tanto, y = f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 2(-1) + 2 = -4
Por el punto (-1, -4) pasa una tangente a la curva que es paralela a la recta y = 11x - 25.
Su ecuación es y - (-4) = 11 (x - (-1))
⇒y + 4 = 11(x + 1)
⇒y = 11(x + 1) - 4
⇒y = 11x + 11 - 4
⇒y = 11x + 7
*** Se debe buscar el punto en el que f'(x) sea igual a la pendiente de la recta x - 3y + 1 = 0.
La pendiente de x - 3y + 1 = 0 es m = -1/-3, m = 1/3.
⇒ f'(x) = 1/3, como f(x) = ln x, se tiene que:
1/x = 1/3 ⇒ x = 3
Por tanto, el punto buscado es (3 , ln3)