alguien me podría ayudar con este problema de tasas relacionadas?? POR FAVOR!!!!!!
se descarga arena en un montículo a una capacidad de 15 m3/min, su tamaño es tal que que el montón que se forma es un cono cuyo diámetro en la base siempre es igual a su altura. ¿con qué rapidez cambia su altura del montón cuando mide 5 metros de altura???
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El volumen de un cono está dado por:
v= 1/3πr²h
si r=h:
v= 1/3 πr³, luego:
3v/π= r³ (1)
Tanto r como v dependen del tiempo, si derivamos con respecto al tiempo (1):
d/dt (3v/π)= d/dt r³
3/π dv/dt = 3r² dr/dt (Usando derivación implícita)
Como dv/dt = 15
15/(πr²) = dr/dt
15/π (1/ ∛(3v/π)²) = dr/dt
Si la altura del montón es 5 m, el volumen en ese instante es:
v(5)= π/3 (125) m³
Luego la rapidez con la que cambia la altura cuando el cono tiene 5 m de radio está dada por:
dr/dt (5) = 1/25 (15/π) m/min = 3/(5π) m/min
v= 1/3πr²h
si r=h:
v= 1/3 πr³, luego:
3v/π= r³ (1)
Tanto r como v dependen del tiempo, si derivamos con respecto al tiempo (1):
d/dt (3v/π)= d/dt r³
3/π dv/dt = 3r² dr/dt (Usando derivación implícita)
Como dv/dt = 15
15/(πr²) = dr/dt
15/π (1/ ∛(3v/π)²) = dr/dt
Si la altura del montón es 5 m, el volumen en ese instante es:
v(5)= π/3 (125) m³
Luego la rapidez con la que cambia la altura cuando el cono tiene 5 m de radio está dada por:
dr/dt (5) = 1/25 (15/π) m/min = 3/(5π) m/min
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