Question

Alguien me podría ayudar con 5 succiones cuadráticas perfectas resueltas xfa dare 15pntos

Answer 1

Respuesta:

Damelass yo te ayudoooo, pero aca te dejo algunos ejemplos

Explicación paso a paso:

Ejercicios resueltos de sucesiones cuadráticas

Ejercicio 1

Sea la sucesión S={1, 3, 7, 13, 21, ……}. Determine si:

i) Es regular o no

ii) Es cuadrática o no

iii) Fuese cuadrática, la sucesión de las diferencias y su razón

Respuestas

i) Calculemos la diferencia el término siguiente y el anterior:

3-1= 2

7-3= 4

13-7= 6

21-13= 8

Podemos afirmar que la sucesión S no es regular, porque la diferencia entre términos sucesivos no es constante.

ii) La sucesión de las diferencias sí es regular, porque la diferencia entre sus términos es el valor constante 2. Por lo tanto la sucesión original S es cuadrática.

iii) Ya determinamos que S es cuadrática, la sucesión de las diferencias es:

Sdif ={2, 4, 6, 8, …} y su razón es R=2.

Ejercicio 2

Sea la sucesión S={1, 3, 7, 13, 21, ……} del ejemplo anterior, donde se verificó que es cuadrática. Determine:

i) La fórmula que determina el término general Tn .

ii) Verifique el tercero y quinto término.

iii) El valor del décimo término.

Respuestas

i) La fórmula general de Tn es  A∙n2 + B∙n +C. Entonces queda conocer los valores de A, B y C.

La sucesión de las diferencias tiene razón 2. Además para cualquier sucesión cuadrática la razón R es 2∙A según se demostró en los apartados anteriores.

R= 2∙A=2  lo que nos lleva a concluir que A=1.

El primer término de la sucesión de diferencias SDif es 2 y debe cumplir A∙(2n+1)+B, con n=1 y A=1, es decir:

2=1∙(2∙1+1)+B

despejando B se obtiene: B = -1

Luego el primer término de S (n=1) vale 1, es decir: 1 = A∙12 + B∙1 + C. Como ya sabemos que A=1 y B=-1, sustituyendo nos queda:

1=1∙12 + (-1)∙1 +C

Despejando C se obtiene su valor:  C = 1.

En resumen:

A=1, B=-1 y C=1

Entonces el término n-esimo será Tn = n2 – n + 1

ii) El tercer término T3 = 32 – 3 + 1 = 7 y se verifica. El quinto T5 = 52 – 5 + 1 = 21 que también se verifica.

iii)  El décimo término será T10 = 102 – 10 + 1 = 91.

Ejercicio 3

La figura muestra una secuencia de cinco figuras. El reticulado representa la unidad de longitud.

i) Determine la sucesión para el área de las figuras.

ii) Demuestre que se trata de una sucesión cuadrática.

iii) Encuentre el área de la figura # 10 (no mostrada).

Respuestas

i) La sucesión S correspondiente al área de la secuencia de figuras es:

S={0, 2, 6, 12, 20, . . . . . }

ii) La sucesión correspondiente a las diferencias consecutivas de los términos de S es:

Sdif = {2, 4, 6, 8, . . . . . }

Como la diferencias entre términos consecutivos no es constante, entonces S no es una sucesión regular. Falta saber si es cuadrática, para lo cual nuevamente hacemos la secuencia de las diferencias, obteniendo:

{2, 2, 2, …….}

Ya que todos los términos de la secuencia se repiten, se confirma que S es una sucesión cuadrática.

iii) La sucesión Sdif es regular y su razón R es 2. Utilizando la ecuación demostrada anteriormente R = 2∙A, queda:

2 = 2∙A, lo que implica que  A = 1.

El segundo término de la sucesión de diferencias SDif es 4 y el término n-ésimo de SDif es

A∙(2n+1)+B.

El segundo término tiene n=2. Además ya se determinó que A=1, así que usando  la ecuación anterior y sustituyendo se tiene:

4=1∙(2∙2+1)+B

Despejando B se obtiene: B = -1.

Se sabe que el segundo término de S vale 2, y que debe cumplir la fórmula del término general con n=2:

Tn = A∙n2 + B∙n +C ;  n=2  ;  A=1  ;  B=-1    ;  T2 = 2

Es decir

2 = 1∙22 – 1∙2 + C

Se concluye que C=0, es decir que la fórmula que da el término general de la sucesión S es:

Tn = 1∙n2 – 1∙n +0 = n2 – n

Ahora se verifica el quinto término:

T5 = 52 – 5  = 20

iii) La figura #10, que no se ha dibujado aquí, tendrá el área correspondiente al décimo término de la sucesión S:

T10 = 102 – 10  = 90