Question

Alguien me podría ayudar a resolver este problema con el método de gauss​

Answer 1

Respuesta:

$x=1$, $y=-1$, $z=2$

Explicación paso a paso:

Primero, del sistema, debemos formar nuestra matriz de coeficientes y términos independientes:

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\frac{1}{4} &{\frac{2}{3} }\\ \\ \frac{1}{5} &-\frac{1}{2} &1&\frac{27}{10} \\ \\\frac{1}{3}&1&-\frac{1}{5} &-\frac{16}{15} \end{array}\right]$

Luego realizamos operaciones elementales por fila hasta obtener una matriz reducida, es decir, los números debajo de la diagonal principal deben ser ceros:

 $\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\frac{1}{4} &{\frac{2}{3} }\\ \\ \frac{1}{5} &-\frac{1}{2} &1&\frac{27}{10} \\ \\\frac{1}{3}&1&-\frac{1}{5} &-\frac{16}{15} \end{array}\right] -\frac{2}{5} F_1+F_2\to F_2$

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\frac{1}{4} &{\frac{2}{3} }\\ \\ 0 &-\frac{19}{30} &\frac{9}{10} &\frac{73}{30} \\ \\\frac{1}{3}&1&-\frac{1}{5} &-\frac{16}{15} \end{array}\right] -\frac{2}{3} F_1+F_3\to F_3$

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\frac{1}{4} &{\frac{2}{3} }\\ \\ 0 &-\frac{19}{30} &\frac{9}{10} &\frac{73}{30} \\ \\0&\frac{7}{9} &-\frac{11}{30} &-\frac{68}{45} \end{array}\right] \frac{70}{57} F_2+F_3\to F_3$

$\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2} &\frac{1}{3} &\frac{1}{4} &{\frac{2}{3} }\\ \\ 0 &-\frac{19}{30} &\frac{9}{10} &\frac{73}{30} \\ \\0&0 &\frac{421}{570} &\frac{421}{285} \end{array}\right]$

Ahora formamos nuestro nuevo sistema:

$\left \{ {{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4} =\frac{2}{3} }\\ \atop {\frac{-19}{60}y+\frac{9}{10}z=\frac{73}{30}\\ \atop{\frac{421}{570}z=\frac{421}{285} }}} \right.$

Despejando la tercera ecuación:

$\frac{421}{570}z=\frac{421}{285}$

$z=2$

Ahora con la segunda ecuación encontramos la variable y:

$-\frac{19}{30}y+\frac{9}{10}(2) =\frac{73}{30}$

$y=-1$

Con la primera ecuación encontramos la variable restante:

$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{4}(2)=\frac{2}{3}$

$x=1$